2019-2020年高三数学第三次模拟考试试题 文(含解析).doc

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2019-2020年高三数学第三次模拟考试试题 文(含解析)【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分。l.已知复数 ,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案解析】D 解析:z=,复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()在第四象限故选:D【思路点拨】利用复数代数形式的除法运算化简,然后求出,得到的坐标,则答案可求【题文】2.已知集合 ,则集合中元素的个数为 A无数个 B 3 C. 4 D.5【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案解析】C 解析:由A中不等式变形得:(x3)(x+1)0,解得:x1或x3,即A=x|x1或x3,RA=x|1x3,集合NRA=0,1,2,3,即集合NRA中元素的个数为4个故选:C【思路点拨】求出A中不等式的解集确定出A,根据全集R求出A的补集,找出A补集与自然数集的交集即可【题文】3.执行如图所示的程序框图,如果输入a=2,b=2, 那么输出的a值为 A. 4 B. 16 C 256 D.65536【知识点】程序框图L1【答案解析】C 解析:若a=2,则log3a=log324不成立,则a=22=4,若a=4,则log3a=log344不成立,则a=42=16,若a=16,则log3a=log3164不成立,则a=162=256若a=256,则log3a=log32564成立,输出a=256,故选:C【思路点拨】根据程序框图,依次运行,直到满足条件即可得到结论【题文】4.设非零向量 ,满足 ,与 的夹角为 A. 60 B90 C120 D 150【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案解析】A 解析:设,非零向量,满足|=|=|,+=,ABC为等边三角形,与的夹角为60故选:A【思路点拨】设,由已知条件可得:ABC为等边三角形,即可得出答案【题文】5.已知正方形ABCD,其中顶点A、C坐标分别是 (2,0)、(2,4),点P(x,y)在正方形内部(包括边界)上运动,则Z=2x+y的最大值是A10 B. 8 C.12 D.6【知识点】简单线性规划E5【答案解析】A 解析:作出平行四边形ABCD内的区域,由z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,则由图象可知当直线经过点D时,直线y=2x+z的截距最大,此时z最大设ABCD是平行四边形,则N(2,2),则DN=CN=2,即D(4,2),代入目标函数z=2x+y得z=24+2=10故选:A【思路点拨】利用条件先确定点C的坐标,由z=2x+y得y=2x+z,然后平移直线,利用z的几何意义确定目标函数的最大值即可【题文】6.设函数 ,且其图像相邻的两条对称轴为 ,则 A 的最小正周期为 ,且在 上为增函数 B 的最小正周期为 ,且在 上为减函数 C. 的最小正周期为 ,且在 上为增函数 D . 的最小正周期为 ,且在 上为减函数【知识点】两角和与差的正弦函数C5【答案解析】D 解析:f(x)=cos(x+)sin(x+)=2cos(x+)sin(x+)=2cos(x+),且f(x)的图象相邻的两条对称轴为x=0,x=,它的半周期为=0,=2,T=;当x=0时,f(x)=2cos(+)=k,kZ,=;f(x)=2cos2x,f(x)的最小正周期是,且在(0,)上是减函数故选:D【思路点拨】利用两角和的余弦公式化简函数f(x),由题意求出、的值,即可确定函数f(x)的解析式,并求出周期,判定函数f(x)的单调区间【题文】7函数 的图像为【知识点】函数的图象;指数函数的图像与性质B7【答案解析】D 解析:由题设条件,当x1时,f(x)=(x)=当x1时,f(x)=(x)=(x)=x故f(x)=,故其图象应该为综上,应该选D【思路点拨】观察题设中的函数表达式,应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号,化简之后再分段研究其图象【题文】8.下列命题正确的个数是命题“ ”的否定是“ ”:函数 的最小正周期为“ ”是“a=1”的必要不充分条件; 在 上恒成立 在 上恒成立;“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ” A1 B. 2 C. 3 D4【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案解析】B 解析:(1)根据特称命题的否定是全称命题,(1)正确;(2)f(x)=cos2axsin2ax=cos2ax,最小正周期是=a=1,(2)正确;(3)例a=2时,x2+2x2x在x1,2上恒成立,而(x2+2x)min=32xmax=4,(3)不正确;(4),当=时,0(4)错误正确的命题是(1)(2)故选:B【思路点拨】(1)根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确;(2)化简三角函数,利用三角函数的最小正周期判断;(3)用特例法验证(3)是否正确;(4)根据向量夹角为时,向量的数量积小于0,来判断(4)是否正确【题文】 9.设双曲线 ,离心率 ,右焦点。方程 的两个实数根分别为 ,则点与圆的位置关系 A在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定【知识点】双曲线的简单性质H6【答案解析】A 解析:由圆的方程x2+y2=8得到圆心O坐标为(0,0),圆的半径r=2,又双曲线的离心率为e=,即c=a,则c2=2a2=a2+b2,即a2=b2,又a0,b0,得到a=b,因为方程ax2bxc=0的两个实根分别为x1和x2,所以x1+x2=,x1x2=,则|OP|=r=2,所以点P在圆x2+y2=8内故选:C【思路点拨】由已知圆的方程找出圆心坐标与圆的半径r,然后根据双曲线的离心率公式找出c与a的关系,根据双曲线的平方关系,把c与a的关系代入即可得到a等于b,然后根据韦达定理表示出两根之和和两根之积,利用两点间的距离公式表示出点P与圆心的距离,把a,b及c的关系代入即可求出值,与圆的半径比较大小即可判断出点与圆的位置关系【题文】10.点A,B,C,D在同一个球面上, ,AC=2,若球的表面积为,则四面体ABCD体积最大值为 A B C. D2【知识点】球的体积和表面积G8【答案解析】C 解析:根据题意知,ABC是一个直角三角形,其面积为1其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上,设小圆的圆心为Q,球的表面积为,球的半径为r,r=,四面体ABCD的体积的最大值,底面积SABC不变,高最大时体积最大,就是D到底面ABC距离最大值时,h=r+=2四面体ABCD体积的最大值为SABCh=,故选:C【思路点拨】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积【题文】11.已知 ABC外接圆O的半径为1,且 ,从圆O内随机取一个点M,若点M取自ABC内的概率恰为 ,则ABC的形状为 A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形【知识点】几何概型K3【答案解析】B 解析:=,圆的半径为1,cosAOB=又0AOB,故AOB=,又AOB为等腰三角形,故AB=,从圆O内随机取一个点,取自ABC内的概率为,即=,S,设BC=a,AC=bC=,得ab=3,由AB2=a2+b22abcosC=3,得a2+b2ab=3,a2+b2=6联立解得a=b=ABC为等边三角形故选:B【思路点拨】根据向量的数量积求得AOB=,进而求得AB的长度,利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积,利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论【题文】12.定义在上的函数满足下列两个条件:(1)对任意的恒有成立;(2)当 时,记函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【知识点】函数零点的判定定理. B9【答案解析】D 解析:因为对任意的x(1,+)恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x(1,2时,f(x)=2x所以f(x)=x+2b,x(b,2b由题意得f(x)=k(x1)的函数图象是过定点(1,0)的直线,如图所示红色的直线与线段AB相交即可(可以与B点重合但不能与A点重合)所以可得k的范围为 故选C【思路点拨】根据题中的条件得到函数的解析式为:f(x)=x+2b,x(b,2b,又因为f(x)=k(x1)的函数图象是过定点(1,0)的直线,再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 第卷非选择题(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡相应位置。【题文】13.设a为实数,函数 的导函数为,且 是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是_【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案解析】 解析:f(x)=3x2+2ax+(a3),因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(x)恒成立,即3(x)22ax+(a3)=3x2+2ax+(a3)恒成立,所以a=0,所以f(x)=3x23,所以f(0)=3,所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程是y=3x,即3x+y=0故答案:3x+y=0【思路点拨】先利用偶函数的定义求出a的值,再求出函数f(x)在x=0时的导数,即切线的斜率即可写出切线方程【题文】14.右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为_【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案解析】 解析:由三视图知:几何体是圆柱与球体的组合体,圆柱的高为1,圆柱底面圆的半径与球的半径都为1,几何体的体积V=121+13=故答案为:【思路点拨】 几何体是圆柱与球体的组合体,根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径,判断球的半径,把数据代入圆柱与球的体积公式计算【题文】15.若在由正整数构成的无穷数列中,对任意的正整数,都有,且对任意的正整数,该数列中恰有个,则= .【知识点】数列递推式D1【答案解析】45 解析:对任意的正整数k,该数列中恰有2k1个k,数列是1,2,2,2,3,3,3,3,3,设axx在第n+1组中,则1+3+5+(2n1)=n2xx,解得:n45axx在第45组中,故axx=45,故答案为:45【思路点拨】由对任意的正整数k,该数列中恰有2k1个k,可知数列为:1,2,2,2,3,3,3,3,3,假设axx在第n+1组中,由等差数列的求和公式求出前n组的和,解不等式n2xx,得到n值后加1得答案【题文】16.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知 是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当 ,则这一对相关曲线中椭圆的离心率是_。【知识点】椭圆的简单性质H5【答案解析】 解析:设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,由余弦定理得(2c)2=m2+n22mncos60,即4c2=m2+n2mn,设a1是椭圆的实半轴,a2是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,mn=2a2,m=a1+a2,n=a1a2,将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a224c2+a12=0,a1=3a2,e1e2=即,故答案为【思路点拨】设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,由余弦定理4c2=m2+n2mn,设a1是椭圆的长半轴,a1是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,mn=2a1,由此能求出结果三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(本小题满分12分)“等比数列 中,且 是 和的等差中项,若 (1)求数列 的通项公式;(2)若数列 满足 ,求数列的前n项和【知识点】数列的求和;等比数列的性质D3 D4【答案解析】(1)(2) 解析:(1)由解得: (6分)(2)(8分)(12分)【思路点拨】(1)求数列an的通项公式,设出公比为q,由a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项,这两个方程联立即可求出首项与公比,通项易求(2)确定数列cn的通项,分组求和即可【题文】18.(本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成,六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.()求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图;()从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;()若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.【知识点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图优K2 I2【答案解析】()()() 解析:()分数在70,80)内的频率为1(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)10=0.3,小矩形的高为0.030,补全频率分布直方图如图:2分 ()由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4,中位数在第四组,设中位数为70+x,则0.4+0.030x=0.5x=,数据的中位数为70+=,6分 ()第1组:人(设为1,2,3,4,5,6) 第6组:人(设为A,B,C) 共有36个基本事件,满足条件的有18个,所以概率为12分【思路点拨】(I)利用所有小矩形的面积之和为1,求得分数在70,80)内的频率,再根据小矩形的高=求得小矩形的高,补全频率分布直方图;(II)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等,求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值;(III)利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数,再计算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数,代入古典概型概率公式计算【题文】19(本小题满分12分) 如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF 平面ABCD,BF=3,G积H分别是CE和CF的中点、 (1)求证:AF/平面BDGH: (2)求【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定G4 G8【答案解析】(1)见解析(2) 1 解析:(1) 证明:设,连接,在中,因为,所以,又因为平面,平面,所以平面. (6分) (2)解:因为四边形是正方形,所以. 又因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面. 得 平面(8分) 则H到平面的距离为CO的一半 又因为,三角形的面积,所以(12分)【思路点拨】(1)设ACBD=O,连接OH,证明OHAF,即可证明AF平面BDGH;(2)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直,可得H到平面BDEF的距离为CO的一半,再利用等体积转换,即可得出结论【题文】20.(本小题满分12分)平面内动点P(x,y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连级的斜率之积等于,若点P的轨迹为曲线E,过点 直线 交曲线E于M,N两点-(1)求曲线E的方程,并证明:MAN是一定值; (2)若四边形AMBN的面积为S,求S的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程H8【答案解析】(1)(2) 16 解析:(1)设动点P坐标为,当时,由条件得:,化简得曲线E的方程为,,4分(说明:不写的扣1分)由题可设直线的方程为,联立方程组可得 ,化简得: 设,则,(6分) 又,则 , 所以,所以的大小为定值 (8分) ()令设在上单调递减.由,得K=0,此时有最大值16(12分)【思路点拨】(1)设动点P坐标为(x,y),当x2时,由条件得曲线E的方程为,设直线MN的方程为x=ky,联立,由此韦达定理得到=0,从而证明MAN的大小为定值90()S=|AB|y1y2|=8令k2+4=t,(t4),得S=8,设f(t)=,利用导数性质能求出由t=4,得k=0,此时S有最大值16【题文】21.(本小题满分12分) 已知函数 的定义域是 , 是 的导函数,且 在上恒成立(1)求函数 的单调区间。(2)若函数,求实数a的取值范围(3)设 是 的零点,求证: 【知识点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算B12【答案解析】(1)的单增区间是,无单减区间(2)(3)见解析 解析:(1) 因为在上恒成立所以在上恒成立,所以的单增区间是,无单减区间(3分)(2) , 因为在上恒成立所以在上恒成立即在上恒成立(4分)设 则令得 ,当时,;当时,故函数在上单调递增,在上单调递减,所以,所以.(8分)(3)因为是的零点,所以 由(1)知,在上单调递增,所以当时,即所以当时,因为,所以,且即所以所以(12分)【思路点拨】(1)对F(x)求导,根据条件便能判断导数的符号,从而找到它的单调区间(2)求a的取值范围,所以想着找到关于a的不等式,并且使不等式一边是a,另一边是其它量将f(x)带入xf(x)f(x)0中,便能得到,只要让a大于的最大值即可,所以转而求该函数的最大值(3)看到要证的不等式,应该想到利用F(x)的单调性,由m+nm,m+nn,便可出现f(m+n),f(m),f(n),然后想办法出现,从而得出证明【题文】【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,分别为的边,上的点,且不与的顶点重合。已知的长为m,的长为n,AD,的长是关于的方程的两个根。()证明:,四点共圆;()若,且,求,所在圆的半径。【知识点】圆周角定理;与圆有关的比例线段N1【答案解析】()见解析()5 解析:()连结DE,根据题意在ADE和ACB中,ADAB=mn=AEAC即,又DAE=CAB,从而ADEACB因此ADE=ACB,所以C,B,D,E四点共圆。()m=4,n=6,方程的两根为2,12.即AD=2,AB=12取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线交于点H,连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆,所以圆心为H,半径为DH.由于A=900故GHAB,HFAC.从而HF=AG=5,DF=5,故半径为5.【思路点拨】(I)做出辅助线,根据所给的AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x214x+mn=0的两个根,得到比例式,根据比例式得到三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,得到结论(II)根据所给的条件做出方程的两个根,即得到两条线段的长度,取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH,根据四点共圆得到半径的大小【题文】23(本小题满分10分)选修4.4坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位 已知直线 的参数方程为 (t为参数,),曲线C的极坐标方程为 (1)求曲线C的直角坐标方程。 (2)设直线 与曲线C相交于A,B两点,当变化时,求 的最小值【知识点】简单曲线的极坐标方程菁优N3【答案解析】(1)(2) 当时,|AB|的最小值为4 解析:(1)由,得 所以曲线C的直角坐标方程为(4分) (2)将直线l的参数方程代入,得 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则 t1+t2=,t1t2=, |AB|=|t1-t2|=, 当时,|AB|的最小值为4 (10分) 【思路点拨】(1)利用即可化为直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入y2=4x,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出【题文】24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知,不等式的解集是 (1)求a的值; (2)若存在实数解,求实数的取值范围。【知识点】绝对值不等式的解法N4【答案解析】(1)(2) 解析:由得:即当时,原不等式的解集是,无解;当时,原不等式的解集是,得(5分)(2)由题:因为存在实数解,只需大于的最小值由绝对值的几何意义,所以解得:(10分)【思路点拨】(1)由|ax+1|3得:4ax2;分a0与a0讨论,结合已知原不等式的解集是x|1x2,即可求得a的值;(2)易求g(x)=|x|+|x+,依题意,g(x)|k|存在实数解,只需|k|大于g(x)的最小值,而g(x)=|x|+|x+,|x(x+)|=1,从而去解不等式|k|1即可
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