高考第一轮复习数学直线、平面、简单几何体(附答案).doc

素质能力检测（九）一、选择题（每小题5分，共60分）1.（2003年北京）已知、是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是A.若mn，m，则nB.若m，=n，则mnC.若m，m，则D.若m，m，则解析：如图，设平面且m，m，但mn不成立（异面）.答案：B2.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是A. B. C. D. 解析：由题意易知ABC1是AD与BC1所成的角，解ABC1，得余弦为.选D.答案：D3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，这个长方体对角线的长为A.2B.3C.6D.解析：设长宽高为a、b、c，则l=，选D.答案：D4.已知l、m、n是直线，、是平面，下列命题中是真命题的是A.若m，n，则mnB.设l是直二面角，若ml，则mC.若m、n在内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或nD.设m、n是异面直线，若m，则n与相交解析：当m，n时，m、n可相交、平行、异面，l是直二面角，ml，m可在内.若m、n异面，m，则n或n或n与相交.答案：C5.（2003年春季北京）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为A.90B.60C.45D.0解析：平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，MJGH，IJM为异面直线GH与JI所成的角.由已知条件易证MJI为正三角形.IJM=60.答案：B6.如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为A.30B.45C.60D.90答案：C7.正方体ABCDABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（ba），Q点在DC上滑动，则四面体AEFQ的体积为A.与E、F位置有关B.与Q位置有关C.与E、F、Q位置都有关D.与E、F、Q位置均无关，是定值解析：VAEFQ=VQAEF.答案：D8.（理）高为5，底面边长为4 的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是A. B.2C. D.解析：过球心作平行于底的截面，R=2tan30=2.答案：B（文）（2004年全国）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为123，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是A.1，2，3B.2，4，6C.1，4，6D.3，6，9 答案：B9.二面角l的平面角为120，A、Bl，AC，BD，ACl，BDl，若AB=AC=BD=1，则CD的长为A.B.C.2D.答案：B10.在ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA平面ABC，PA=8，则P到BC的距离为A.B.2C.3D.4解析：取BC的中点E，连结AE、PE，由AEBC知PEBC，即PE为点P到BC的距离.答案：D11.条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：乙甲，但甲乙，例如四棱锥SABCD的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.答案：B12.已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是A.b=（1）aB.b=（+1）aC.b= D.b=解析：由平行锥体底面的截面性质，知=，=.= .b=a.故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年广东，15）由图（1）有面积关系：=，则由图（2）有体积关系：=_.答案：14.P、Q是半径为R的球面上两点，它们的球面距离是R，则过P、Q的平面中，与球心最大的距离是_.解析：以PQ为直径的圆所在的平面到球心的距离为所求.答案：R15.（2005年春季北京，12）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_. 答案：（4+2）a216.已知异面直线a、b的公垂线段AB的长为10 cm，点A、M在直线a上，且AM=5 cm，若直线a、b所成的角为60，则点M到直线b的距离是_.解析：如图，过B作BNa，且BN与b确定的平面为，过M作MN于N，过N作NCb于C，连结MC，由三垂线定理知，MCb，故MC即为所求.在RtBCN中，NC=BNsin60=，MC=.答案：三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）（2003年上海）已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.解：连结BD，B1B平面ABCD，B1DBC，BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，BD=2.又直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，B1DB=30.于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=8.18.（12分）（2004年广东，18）如下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.（1）求二面角CDEC1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值.解：（1）以A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）.于是，=（3，3，0）， =（1，3，2）， =（4，2，2）.设向量n=（x，y，z）与平面C1DE垂直，则有 n 3x3y=0n x+3y+2z=0x=y=z.n=（，z）=（1，1，2），其中z0.取n0=（1，1，2），则n0是一个与平面C1DE垂直的向量.向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角CDEC1的平面角.cos=.tan=.（2）设EC1与FD1所成的角为，则cos=.19.（12分）（2005年春季上海，19）已知正三棱锥PABC的体积为72，侧面与底面所成的二面角的大小为60.（1）证明：PABC；（2）求底面中心O到侧面的距离.（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则ADBC，PDBC，故BC平面APD.PABC.（2）解：如下图，由（1）可知平面PBC平面APD，则PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作OEPD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.设OE为h，由题意可知点O在AD上，PDO=60，OP=2h，OD=.BC=4h.S=（4h）2=4h2.72= 4h22h=h3，h=3，即底面中心O到侧面的距离为3.20.（12分）（理）如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MNAB；（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为，当为何值时（与a、b、c无关），MN是直线AB和PC的公垂线段.（1）证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则A（0，0，0），B（a，0，0），M（，0，0），N（，）.=（a，0，0），=（0，）.=0ABMN.（2）解：P（0，0，c），C（a，b，0），=（a，b，c），若MN是PC、AB的公垂线段，则=0，即+=0b=c.CDPD，又AP面ABCDCDDAPDA是二面角PCDA的平面角.PDA=45，即二面角PCDA是45.（文）正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.（1）求证：PB平面MNB1；（2）设二面角MB1NB为，求cos的值.（1）证明：如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）. =（2，2，1）（0，1，2）=0，MB1PB，同理，知NB1PB.MB1NB1=B1，PB平面MNB1.（2）PB平面MNB1，BA平面B1BN，=（2，2，1）与=（0，2，0）所夹的角即为，cos=.21.（12分）已知四棱锥PABCD中，PA面ABCD，底面ABCD为菱形，BAD=60，AB=2，PA=4，E为PC的中点.（1）求证：平面BDE平面ABCD；（2）求二面角BDEC的大小.（1）证明：设ACBD=O，连结OE.E为PC的中点，O为AC的中点.EOPA.PA面ABCD，EO面ABCD.EO平面BDE，面BDE面ABCD.（2）解法一：过O作OFDE于F，连结CF.由（1）可知OC面BDE，DEFC.OFC为BDEC的平面角.OE=PA=2，OD=1，OF=.又OC=，tanOFC=.二面角BDEC的大小为arctan.解法二：以O为原点建立如上图所示的坐标系，则为平面EBD的法向量，=（0，0）.设平面CDE的法向量n=（x，y，z）.E（0，0，2），C（0，0），D（1，0，0），=（1，0）， =（0，2）.n=0，n=0， x+y=0，x=y，y+2z=0. z=y.取y=，则n=（3，）.cosn，=.二面角BDEC的大小为arccos.22.（14分）如图，ABCD是边长为1的正方形，M、N分别是DA、BC上的点，且MNAB，现沿MN折成直二面角ABMNCD.（1）求证：平面ADC平面AMD；（2）设AM=x（0x1），MN到平面ADC的距离为y，试用x表示y；（3）点M在什么位置时，y有最大值，最大值为多少?（1）证明：ABCD是正方形，且MNABCD，MNAM，MNDM，即CDAM，CDDM，CD平面AMD.CD平面ADC，平面ADC平面AMD.（2）解：MNCD，MN平面ADC.故MN到平面ADC的距离即为M到平面ADC的距离.过M作MHAD于H，平面ADC平面AMD，MH平面ADC，即MH为所求距离.在RtAMD中，求得y=（0x1）.（3）解：y=，当且仅当x=1x，即x=时，ymax=，此时M为AD的中点.