2019-2020年高三第一次模拟考试数学理试题 含解析.doc

2019-2020年高三第一次模拟考试数学理试题 含解析【试卷综述】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。参考公式：锥柱体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，【题文】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【题文】1若集合，则 ( ) A B C D【知识点】集合间的关系A1【答案】【解析】A 解析：由集合的包含关系可知，故选A【思路点拨】由集合的包含关系直接做出判断即可.【题文】2已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ( )A B C D【知识点】复数的乘除运算L4【答案】【解析】B 解析：，所以，故选B【思路点拨】先把复数化简,再求出b的之即可.【题文】3下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )A B C D 【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质B4 B12【答案】【解析】B 解析：由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值故选B【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【题文】4若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于 ( )A7 B8 C10 D11 【知识点】简单线性规划 E5【答案】【解析】C 解析：平面区域如图所示，由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B（4，2）时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=24+2=10，故选：C【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点B（4，2）时，z最大值即可【题文】5在中，则 ( )A B C D 【知识点】向量数量积的运算;余弦定理F3 C8【答案】【解析】B 解析：，又由余弦定理知故选B【思路点拨】先利用向量数量积得到cosA,再由余弦定理可得结果。【题文】6下列命题的说法 错误 的是 ( )A若复合命题为假命题，则都是假命题B“”是“”的充分不必要条件C对于命题 则D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【知识点】全称命题；复合命题的真假A2【答案】【解析】A 解析：若为假命题，则至少有一个为假命题故选A【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想值得同学们体会反思【题文】7多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )A B C D【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】C 解析：用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C【思路点拨】用割补法可把几何体分割成三部分, 把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算【题文】8对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则 ( )A1 B C D【知识点】类比推理M1【答案】【解析】D 解析：依题意得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选D【思路点拨】由题意可推出为f（x）的对称中心，从而可得,从而求的值【题文】二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9设，若，则的最小值为_【知识点】基本不等式；等比数列的性质D3 E6【答案】【解析】4 解析：，当且仅当时取等号，所以的最小值为故答案为4.【思路点拨】由条件a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值【题文】10计算积分 _【知识点】定积分的计算B13【答案】【解析】1 解析：,故答案为1.【思路点拨】利用定积分的运算公式即可.【题文】11某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程，则_【知识点】线性回归方程I4【答案】【解析】60 解析：，样本中心为，回归直线经过样本中心，所以故答案为60.【思路点拨】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数【题文】12如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为_【知识点】程序框图L1【答案】【解析】 解析：由程序框图知，又以及周期的性质，化简后得故答案为.【思路点拨】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的值【题文】13将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，如，则_；_【知识点】归纳推理M1【答案】【解析】 解析：由题意，故答案为.【思路点拨】由题意，再求出A（1，10），即可求出A（10，10）【题文】（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题【题文】14（极坐标与参数方程选做题）若点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于_【知识点】椭圆的参数方程；抛物线的简单性质H5 H7【答案】【解析】4 解析：抛物线为，为到准线的距离，即距离为故答案为4.【思路点拨】欲求，根据抛物线的定义，即求到准线x=1的距离，从而求得|PF|即可【题文】15（几何证明选讲选做题）如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，则圆的半径等于_【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】【解析】7 解析：由圆的性质PA=PCPB，得PB=12，连接OA并反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，DB=8，记圆的半径为R，由于EDDA=CDDB因此，解得R=7故答案为7.【思路点拨】连AO并延长，根据切线的性质定理得到RtPAD，根据切割线定理得到PA2=PCPB，根据相交弦定理得到CDDB=ADDE，最后即可解得圆O的半径【题文】三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。【题文】16（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且（1）求的表达式；（2）设，求的值【知识点】三角函数的图像与性质;三角恒等变形C3 C7【答案】【解析】（1）（2） 解析：(1)依题意得， 2分由f(2)=2，得，即，A=4， 4分. 5分(2)由，得，即， 6分又， 7分由，得，即， 9分又， 10分cos()= coscos+ sinsin. 12分【思路点拨】（1）利用周期公式结合已知条件即可;（2）先由已知得,再利用以及两角差的余弦公式即可.【题文】17（本小题满分12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个每张卡片被取出的概率相等（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望 【知识点】排列组合;古典概型;随机变量的分布列J2 K2K6【答案】【解析】（1）;（2）见解析 解析：(1)记事件为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, 1分因为奇数加偶数可得奇数，所以所以所得新数是奇数的概率等于 4分(2)所有可能的取值为1,2,3,4, 5分根据题意得 9分故的分布列为123410分 12分【思路点拨】（1）记事件为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”,由奇数加偶数可得结果；（2）所有可能的取值为1,2,3,4, 计算出概率，列出分布列最后根据公式得到期望。【题文】18（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）求证：平面平面；（2）若二面角为，设，试确定 的值【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值G10 G11【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ 1分ADC=90，AQB=90，即QBAD 2分又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，4分BQ平面PAD 5分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 6分证法二：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ 1分ADC=90AQB=90，即QBAD 2分PA=PD，PQAD 3分PQBQ=Q ， 4分AD平面PBQ 5分AD平面PAD，平面PQB平面PAD 6分（2）法一：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD面PAD面ABCD，且面PAD面ABCD=AD，PQ面ABCD7分如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；8分，设，则，9分,，10分在平面MBQ中，平面MBQ法向量为12分二面角为30，得14分法二：过点作/交于点，过作交于点，连接，因为面,所以面，由三垂线定理知，则为二面角的平面角。9分（没有证明扣2分）设，则，EE，10分，且三线都共面，所以/， 11分在中，13分 解得 14分【思路点拨】（）法一：由ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知QBAD由平面PAD平面ABCD，知BQ平面PAD由此能够证明平面PQB平面PAD法二：由ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知AQB=90由PA=PD，知PQAD，故AD平面PBQ由此证明平面PQB平面PAD（）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQAD由平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，知PQ平面ABCD以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3【题文】19（本小题满分14分） 已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，=+试比较与的大小【知识点】递推公式；等比数列的通项公式；数列的和；D1 D3 D4【答案】【解析】（1）（2）见解析 解析：（1）由， 1分由，其中于是 3分整理得， 4分所以数列是首项及公比均为的等比数列. 5分 6分（2）由（1）得于是 8分 9分又，问题转化为比较与的大小，即与的大小设 10分当时，当时单调递增，当时，而，当时， 12分经检验=1，2，3时，仍有 13分因此，对任意正整数，都有即 14分【思路点拨】（1）根据已知条件中的递推关系式先得到，再由由，整理即可；（2）借助于已知条件把问题问题转化为比较与的大小，即与的大小，进而证明即可。【题文】20（本小题满分14分）在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程H8【答案】【解析】（1）；（2）6400.解析：（1）解法1 ：设的坐标为，由已知得，1分易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为. 4分解法2 ：曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 2分故其方程为. 4分（2）当点在直线上运动时，P的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即于是整理得 6分设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 7分由得 8分设四点的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 9分同理可得 10分于是由，三式得 .13分所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. 14分【思路点拨】（）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（）当点P在直线x=4上运动时，P的坐标为（4，y0），设切线方程为kxy+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得；同理可得，由此可得当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400【题文】21（本小题满分14分）已知，函数（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；（2）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程B11 B12【答案】【解析】（1） （2） 解析：(1)当时，；当时，. 2分因此，当时，0，在上单调递减； 3分当时，0，在上单调递增4分若，则在上单调递减，. 5分若，则在上单调递减，在上单调递增所以，而， 6分故当时，；当时，. 8分综上所述， 9分(2)由(1)知，当时，在上单调递减，故不满足要求10分当时，在上单调递减，在上单调递增若存在， ()，使曲线y在，两点处的切线互相垂直，则，且1，即，亦即.(*) 11分由，得，.故(*)成立等价于集合A与集合B的交集非空因为，所以当且仅当，即时，AB.13分综上所述，存在使函数在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是. 14分【思路点拨】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论