2019-2020年高三数学暑假培优暨竞赛辅导(9) Word版含答案.doc

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2019-2020年高三数学暑假培优暨竞赛辅导(9) Word版含答案1、求值 2、已知:,则 3、已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足. 则的最小值为 ;动点M的轨迹方程.为 4、存在一个二次函数,使得对任意的正整数,当时,都有成立?则该二次函数的表达式为 5、设首项为1的正项数列的前n项和为,数列的前n项和为,且,其中为常数. 则数列的通项公式为 6、设,且中元素满足:对任何,恒有如果,则 的值为 7、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动,若其中,则的最大值是 8、平面上的向量与满足,若点满足,则的最小值为 9、关于的方程有实根,则实数的取值范围是 10、已知不等式组的整数解恰有两个,则实数 的取值范围是 11、已知,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则的取值范围为 12、若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则实数的取值范围是 13、已知数列的首项,且 (),求使不等式成立的最小正整数 14、数列an满足a0=1,证明:(1)对于任意,an为整数;(2)对于任意,为完全平方数。(xx年高中数学联赛)15、数列an按如下法则定义:a1=1, 证明:对n1,均为自然数16、设为定义在正整数上的函数,且满足:对任意的,有。求函数。xx级暑假培优暨竞赛辅导(9)编辑:姚亚军1、求值 思路分析:等式左边同时出现、,联想到公式.证明:评述:本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证等.、2、已知:,则 解:3、已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足. 则的最小值为 ;动点M的轨迹方程.为 解:(1),以O为原点,的平分线为轴建立直角坐标系,则可设.于是的重心的坐标为 , =.又已知得,于是,且当时等号成立,故.(2),设,则由得,=b),得,代入,并整理得,这就是所求动点M的轨迹方程.4、存在一个二次函数,使得对任意的正整数,当时,都有成立?则该二次函数的表达式为 解: 设,则当时有: ; ;联立、,解得于是, 下面证明:二次函数符合条件因为,同理:; 所以,所求的二次函数符合条件5、设首项为1的正项数列的前n项和为,数列的前n项和为,且,其中为常数. 则数列的通项公式为 解: n = 1时,由得p = 0或2,(2分) 若p = 0时, 当时,解得或, 而,所以p = 0不符合题意,故p = 2; 当p = 2时, ,则, 并化简得 ,则 , 得(),又易得, 所以数列an是等比数列,且;6、设,且中元素满足:对任何,恒有如果,则 的值为 解: 不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素,且记各集合的落选元素分别为,则,由于= +=2646700, 而+=,=10002-100=9902, =19800-9902=9898 -=+=+=200-)+10000= 由得:=1328750 7、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动,若其中,则的最大值是2解析:一般求最值问题时,宜采用函数建模的方法,将所求问题转化为初等函数问题。设,即于是。8、平面上的向量与满足,若点满足,则的最小值为解析:以为原点,建立平面直角坐标系,构造二次函数。9、关于的方程有实根,则实数的取值范围是解析:令,则原方程变为,方程有实根,即方程在上有实根,再令,其对称轴,则方程在上有一实根,另一根在以外,因而舍去,即。10、已知不等式组的整数解恰有两个,则实数 的取值范围是解:方程的两个根或。当 时,无解。当 时,化为,此时,为正的纯小数,无整数解;当时,化为,整数解只有两个,故实数的取值范围为。11、已知,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则的取值范围为12、若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则实数的取值范围是解法1:已知不等式化为,因为解集中的整数恰有个,则,即。不等式的解满足,即,显然,为使解集中的整数恰有个,则必须且只须满足,即,解得,所以实数的取值范围是。13、已知数列的首项,且 (),求使不等式成立的最小正整数 提示:容易求得该数列的通项公式为,所以所求最小正整数14、数列an满足a0=1,证明:(1)对于任意,an为整数;(2)对于任意,为完全平方数。(xx年高中数学联赛)证明:(1)由题设得a1=5,且数列an严格单调递增,将条件变形得,两边平方法整理得 -得 , , 由及a0=1, a1=5可得an为正整数.(2)将两边配方得=记由于=从而式成立为完全平方数.15、数列an按如下法则定义:a1=1, 证明:对n1,均为自然数分析 因为结论中涉及到根号及a项,因而令,并对已给递推关系两边平方就容易找到解题思路 解 16、设为定义在正整数上的函数,且满足:对任意的,有。求函数。分析 定义在正整数上的函数,可以对所给方程进行转化得到关于的递推关系(把看成数列)。 解 将式两边同除可得对任意的,有。(此时,易证得对任意,) 依次以代入 式,可得 , , 将这个等式相加,得到,所以,所以,对任意,。说明 对于定义域为自然数的函数方程,往往可以转化为数列问题,通过找出的某个递归公式,然后依次取x为自然数个值代入递归公式,得到m个等式;设法利用这些等式消去以外其它形式的函数,即可求出函数方程的解。
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