24.2.2直线和圆的位置关系同步练习含答案解析.doc

24.2.2 直线和圆的位置关系一、选择题1如图，直线AB与O相切于点A，弦CDAB，E，F为圆上的两点，且CDE=ADF若O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（）A4B2C5D62如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）AS1S2+S3BAOMDMNCMBN=45DMN=AM+CN3如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k0，x0）的图象上，A与x轴相切，B与y轴相切若点B的坐标为（1，6），A的半径是B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A（2，2）B（2，3）C（3，2）D（4，）4如图，RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A2.5B1.6C1.5D15如图，AB、AC是O的两条弦，BAC=25，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D的度数为（）A25B30C35D40二、填空题6如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与A相交于点F若的长为，则图中阴影部分的面积为_7如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连接AD若A=25，则C=_度8如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=ABO经过点E，与边CD所在直线相切于点G（GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2当边AD或BC所在的直线与O相切时，AB的长是_9如图，AB是O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作O的切线，切点为C，连接AC，BC，作APC的平分线交AC于点D下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）CPDDPA；若A=30，则PC=BC；若CPA=30，则PB=OB；无论点P在AB延长线上的位置如何变化，CDP为定值10如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连接PA设PA=x，PB=y，则（xy）的最大值是_11如图，在菱形ABCD中，AB=2，C=120，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_12如图，在直角梯形ABCD中，ABC=90，上底AD为，以对角线BD为直径的O与CD切于点D，与BC交于点E，且ABD为30则图中阴影部分的面积为_（不取近似值）13如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为_14一走廊拐角的横截面积如图所示，已知ABBC，ABDE，BCFG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且EOF=90，DE、FG分别与O相切于E、F两点若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为_m15如图，已知AB为O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若ABC=30，则AM=_三、解答题16如图，A为O外一点，AB切O于点B，AO交O于C，CDOB于E，交O于点D，连接OD若AB=12，AC=8（1）求OD的长；（2）求CD的长17如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BDBA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC是等腰直角三角形18如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EFDE交BC于点F（1）求证：ADEBEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作O，DF与O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，1.73，3.14）19已知：如图，P是O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交O于A、B，连接AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长20如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD（1）求证：CDECAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长21如图，O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知B=30，O的半径为12，弧DE的长度为4（1）求证：DEBC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度22如图，已知AB，AC分别是O的直径和弦，点G为上一点，GEAB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG（1）求证：PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且F=30，BF=2，求PCD的周长和AG的长23 如图，AB是O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DFAB于点F，交O于点H，连接DC，AC（1）求证：AEC=90；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长24如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，以AB为直径作O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长25（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC（2）如图2，AB与O相切于点C，A=B，O的半径为6，AB=16，求OA的长26已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作O，O与边BC相交于点F，O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB（1）求证：ADECDF；（2）当CF：FB=1：2时，求O与ABCD的面积之比27已知：AB是O的直径，直线CP切O于点C，过点B作BDCP于D（1）求证：ACBCDB；（2）若O的半径为1，BCP=30，求图中阴影部分的面积28如图，在RtABC中，BAC=90，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将RtABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得DEF，DF与BC交于点H（1）求BE的长；（2）求RtABC与DEF重叠（阴影）部分的面积29如图，已知O中直径AB与弦AC的夹角为30，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm求：直径AB的长30如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作O的切线CM（1）求证：ACM=ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若O的半径为3，ED=2，求ACE的外接圆的半径24.2.2 直线和圆的位置关系参考答案与试题解析一、选择题1如图，直线AB与O相切于点A，弦CDAB，E，F为圆上的两点，且CDE=ADF若O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（）A4B2C5D6【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理【专题】压轴题；数形结合【分析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与O相切于点A，弦CDAB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由CDE=ADF，可证得EF=AC，继而求得答案【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，直线AB与O相切于点A，OAAB，弦CDAB，AHCD，CH=CD=4=2，O的半径为，OA=OC=，OH=，AH=OA+OH=+=4，AC=2CDE=ADF，=，=，EF=AC=2故选：B【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用2如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）AS1S2+S3BAOMDMNCMBN=45DMN=AM+CN【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）如图作MPAO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，（2）利用MN是O的切线，四边形ABCD为正方形，求得AOMDMN（3）作BPMN于点P，利用RtMABRtMPB和RtBPNRtBCN来证明C，D成立【解答】解：（1）如图，作MPAO交ON于点P，点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）ADSMNO=SMOP+SMPN=MPAM+MPMD=MPAD，（OA+DN）=MP，SMNO=S梯形ONDA，S1=S2+S3，不一定有S1S2+S3，（2）MN是O的切线，OMMN，又四边形ABCD为正方形，A=D=90，AMO+DMN=90，AMO+AOM=90，AOM=DMN，在AMO和DMN中，AOMDMN故B成立；（3）如图，作BPMN于点P，MN，BC是O的切线，PMB=MOB，CBM=MOB，ADBC，CBM=AMB，AMB=PMB，在RtMAB和RtMPB中，RtMABRtMPB（AAS）AM=MP，ABM=MBP，BP=AB=BC，在RtBPN和RtBCN中，RtBPNRtBCN（HL）PN=CN，PBN=CBN，MBN=MBP+PBN，MN=MP+PN=AM+CN故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明3如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k0，x0）的图象上，A与x轴相切，B与y轴相切若点B的坐标为（1，6），A的半径是B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A（2，2）B（2，3）C（3，2）D（4，）【考点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】数形结合【分析】把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据B与y轴相切，即可求得B的半径，则A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标【解答】解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，则函数的解析式是：y=，B的坐标为（1，6），B与y轴相切，B的半径是1，则A是2，把y=2代入y=得：x=3，则A的坐标是（3，2）故选：C【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径4如图，RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A2.5B1.6C1.5D1【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】几何图形问题【分析】连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4x，BE=6（4x），可证明AODOBE，再由比例式得出AD的长即可【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，半圆分别与AC、BC相切，CDO=CEO=90，C=90，四边形ODCE是矩形，OD=CE，OE=CD，又OD=OE，CD=CE=4x，BE=6（4x）=x+2，AOD+A=90，AOD+BOE=90，A=BOE，AODOBE，=，=，解得x=1.6，故选：B【点评】本题考查了切线的性质相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题5如图，AB、AC是O的两条弦，BAC=25，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D的度数为（）A25B30C35D40【考点】切线的性质【专题】几何图形问题【分析】连接OC，根据切线的性质求出OCD=90，再由圆周角定理求出COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论【解答】解：连接OC，CD是O的切线，点C是切点，OCD=90BAC=25，COD=50，D=1809050=40故选：D【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键二、填空题6如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与A相交于点F若的长为，则图中阴影部分的面积为【考点】切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算【专题】几何图形问题【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的很显然图中阴影部分的面积=ACD的面积扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可【解答】解：连接AC，DC是A的切线，ACCD，又AB=AC=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=45，又四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CAD=ACB=45，又AB=AC，ACB=B=45，FAD=B=45，的长为，解得：r=2，S阴影=SACDS扇形ACE=故答案为：【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差7如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连接AD若A=25，则C=40度【考点】切线的性质；圆周角定理【专题】计算题【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到A=ODA，求出ODA的度数，再由COD为AOD外角，求出COD度数，即可确定出C的度数【解答】解：连接OD，CD与圆O相切，ODDC，OA=OD，A=ODA=25，COD为AOD的外角，COD=50，C=9050=40故答案为：40【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键8如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=ABO经过点E，与边CD所在直线相切于点G（GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2当边AD或BC所在的直线与O相切时，AB的长是12或4【考点】切线的性质；矩形的性质【专题】几何图形问题；压轴题【分析】过点G作GNAB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度【解答】解：边AB所在的直线不会与O相切；边BC所在的直线与O相切时，如图，过点G作GNAB，垂足为N，EN=NF，又EG：EF=：2，EG：EN=：1，又GN=AD=8，设EN=x，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8r）2，r=5OK=NB=5，EB=9，又AE=AB，AB=12同理，当边AD所在的直线与O相切时，连接OH，OH=AN=5，AE=1又AE=AB，AB=4故答案为：12或4【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径9如图，AB是O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作O的切线，切点为C，连接AC，BC，作APC的平分线交AC于点D下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）CPDDPA；若A=30，则PC=BC；若CPA=30，则PB=OB；无论点P在AB延长线上的位置如何变化，CDP为定值【考点】切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质【专题】几何综合题【分析】只有一组对应边相等，所以错误；根据切线的性质可得PCB=A=30，在直角三角形ABC中ABC=60得出OB=BC，BPC=30，解直角三角形可得PB=OC=BC；根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得A=PCB=30，ABC=60，进而求得PB=BC=OB；连接OC，根据题意，可知OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，可推出DPA+A=45，即CDP=45【解答】解：CPD=DPA，CDP=DAP+DPADAPPDA，CPDDPA错误；连接OC，AB是直径，A=30ABC=60，OB=OC=BC，PC是切线，PCB=A=30，OCP=90，APC=30，在RTPOC中，cotAPC=cot30=，PC=BC，正确；ABC=APC+PCB，PCB=A，ABC=APC+A，ABC+A=90，APC+2A=90，APC=30，A=PCB=30，PB=BC，ABC=60，OB=BC=OC，PB=OB；正确；解：如图，连接OC，OC=OA，PD平分APC，CPD=DPA，A=ACO，PC为O的切线，OCPC，CPO+COP=90，（CPD+DPA）+（A+ACO）=90，DPA+A=45，即CDP=45；正确；故答案为：；【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形10如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连接PA设PA=x，PB=y，则（xy）的最大值是2【考点】切线的性质【专题】几何图形问题；压轴题【分析】作直径AC，连接CP，得出APCPBA，利用=，得出y=x2，所以xy=xx2=x2+x=（x4）2+2，当x=4时，xy有最大值是2【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，CPA=90，AB是切线，CAAB，PBl，ACPB，CAP=APB，APCPBA，PA=x，PB=y，半径为4，=，y=x2，xy=xx2=x2+x=（x4）2+2，当x=4时，xy有最大值是2，故答案为：2【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键11如图，在菱形ABCD中，AB=2，C=120，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是2【考点】切线的性质；菱形的性质；圆锥的计算【分析】先连接CG，设CG=R，由勾股定理求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式l=，再由2r=，求出底面半径r，则根据勾股定理即可求得圆锥的高【解答】解：如图：连接CG，C=120，B=60，AB与相切，CGAB，在直角CBG中，CG=BCsin60=2=3，即圆锥的母线长是3，设圆锥底面的半径为r，则：2r=，r=1则圆锥的高是： =2故答案为：2【点评】本题考查的是圆锥的计算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式计算出弧长，然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径12如图，在直角梯形ABCD中，ABC=90，上底AD为，以对角线BD为直径的O与CD切于点D，与BC交于点E，且ABD为30则图中阴影部分的面积为（不取近似值）【考点】切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算【专题】几何图形问题【分析】连接OE，根据ABC=90，AD=，ABD为30，可得出AB与BD，可证明OBE为等边三角形，即可得出C=30阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积三角形ABD的面积三角形OBE的面积扇形ODE的面积【解答】解：连接OE，过点O作OFBE于点FABC=90，AD=，ABD为30，BD=2，AB=3，OB=OE，DBC=60，OFBE，OF=，CD为O的切线，BDC=90，C=30，BC=4，S阴影=S梯形ABCDSABDSOBES扇形ODE=故答案为：【点评】本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式13如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为a【考点】切线的性质；切割线定理；相似三角形的性质【专题】压轴题【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出O的半径为0.5a，则BF=a0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BHBG，利用方程即可求出BH，然后又因OEDB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案【解答】解：如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE=OF=O的半径，OEC=OFC=C=90，OECF是正方形，由ABC的面积可知ACBC=ACOE+BCOF，OE=OF=a=EC=CF，BF=BCCF=0.5a，GH=2OE=a，由切割线定理可得BF2=BHBG，a2=BH（BH+a），BH=a或BH=a（舍去），OEDB，OE=OH，OEHBDH，=，BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a故答案为： a【点评】考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题14一走廊拐角的横截面积如图所示，已知ABBC，ABDE，BCFG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且EOF=90，DE、FG分别与O相切于E、F两点若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为（42）m【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的判定与性质【专题】几何图形问题【分析】连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，证得四边形BKOH是正方形，然后证得OB经过点P，根据勾股定理求得OB的长，因为半径OP=1，所以BP=21，然后求得BPMBPN得出P是MN的中点，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得【解答】解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，DE、FG分别与O相切于E、F两点，OEED，OFFG，ABDE，BCFG，OKAB，OHBC，EOF=90，四边形BKOH是矩形，两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，O半径为1m，OK=OH=2，矩形BKOH是正方形，BOK=BOH=45，P是的中点，OB经过P点，在正方形BKOH中，边长=2，OB=2，OP=1，BP=21，p是MN与O的切点，OBMN，OB是正方形BKOH的对角线，OBK=OBH=45，在BPM与BPN中BPMBPN（ASA）MP=NP，MN=2BP，BP=21，MN=2（21）=42，故答案为：42【点评】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，O、P、B三点共线是本题的关键15如图，已知AB为O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若ABC=30，则AM=【考点】切线的性质【专题】计算题【分析】连接OM，OC，由OB=OC，且ABC的度数求出BCO的度数，利用外角性质求出AOC度数，利用切线长定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出AOM为30，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长【解答】解：连接OM，OC，OB=OC，且ABC=30，BCO=ABC=30，AOC为BOC的外角，AOC=2ABC=60，MA，MC分别为圆O的切线，MA=MC，且MAO=MCO=90，在RtAOM和RtCOM中，RtAOMRtCOM（HL），AOM=COM=AOC=30，在RtAOM中，OA=AB=1，AOM=30，tan30=，即=，解得：AM=故答案为：【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键三、解答题16如图，A为O外一点，AB切O于点B，AO交O于C，CDOB于E，交O于点D，连接OD若AB=12，AC=8（1）求OD的长；（2）求CD的长【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的性质【专题】几何图形问题【分析】（1）设O的半径为R，根据切线定理得OBAB，则在RtABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；（2）根据垂径定理由CDOB得DE=CE，再证明OECOBA，利用相似比可计算出CE=，所以CD=2CE=【解答】解：（1）设O的半径为R，AB切O于点B，OBAB，在RtABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，OB2+AB2=OA2，R2+122=（R+8）2，解得R=5，OD的长为5；（2）CDOB，DE=CE，而OBAB，CEAB，OECOBA，=，即=，CE=，CD=2CE=【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质17如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BDBA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC是等腰直角三角形【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；（3）利用正方形的性质证明【解答】证明：（1）如图，连接ODDE为切线，EDC+ODC=90；ACB=90，ECD+OCD=90又OD=OC，ODC=OCD，EDC=ECD，ED=EC；AC为直径，ADC=90，BDE+EDC=90，B+ECD=90，B=BDE，ED=BEEB=EC，即点E为边BC的中点；（2）AC为直径，ADC=ACB=BDC=90，又B=BABCCDB，BC2=BDBA；（3）当四边形ODEC为正方形时，OCD=45；AC为直径，ADC=90，CAD=ADCOCD=9045=45RtABC为等腰直角三角形【点评】本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点试题着重对基础知识的考查，难度不大18如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EFDE交BC于点F（1）求证：ADEBEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作O，DF与O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，1.73，3.14）【考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数值【专题】综合题【分析】（1）由条件可证AED=EFB，从而可证ADEBEF（2）由DF与O相切，DH=OH=OG=3可得ODG=30，从而有GOE=120，并可求出DG、EF长，从而可以求出DGO、DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，A=B=90EFDE，DEF=90AED=90BEF=EFBA=B，AED=EFB，ADEBEF（2）解：DF与O相切于点G，OGDGDGO=90DH=OH=OG，sinODG=ODG=30GOE=120S扇形OEG=3在RtDGO中，cosODG=DG=3在RtDEF中，tanEDF=EF=3SDEF=DEEF=93=，SDGO=DGGO=33=S阴影=SDEFSDGOS扇形OEG=3=.9391.7333.14=6.156.2图中阴影部分的面积约为6.2【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积19已知：如图，P是O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交O于A、B，连接AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】几何综合题【分析】（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出ACO=CAO，再由PC是O的切线，C为切点得出PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC中根据三角形内角和定理可知ACO+CAO+AOC=180，由圆周角定理可知AOC=2PBC，故可得出ACO+PBC=90，再根据PCA+ACO=90即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出PACPCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【解答】（1）证明：连结OC，OA，OC=OA，ACO=CAO，PC是O的切线，C为切点，PCOC，PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC中，ACO+CAO+AOC=180，AOC=2PBC，2ACO+2PBC=180，ACO+PBC=90，PCA+ACO=90，PCA=PBC；（2）解：PCA=PBC，CPA=BPC，PACPCB，=，PC2=PAPB，PA=3，PB=5，PC=【点评】本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键20如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD（1）求证：CDECAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）根据圆周角定理由AB是O的直径得到ADB=90，则B+BAD=90，再根据切线的性质，由AC为O的切线得BAD+CAD=90，则B=CAD，由于B=ODB，ODB=CDE，所以B=CDE，则CAD=CDE，加上ECD=DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到CDECAD；（2）在RtAOC中，OA=1，AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OCOD=2，然后利用CDECAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=ACCE可得AE的值【解答】（1）证明：AB是O的直径，ADB=90，B+BAD=90，AC为O的切线，BAAC，BAC=90，即BAD+CAD=90，B=CAD，OB=OD，B=ODB，而ODB=CDE，B=CDE，CAD=CDE，而ECD=DCA，CDECAD；（2）解：AB=2，OA=1，在RtAOC中，AC=2，OC=3，CD=OCOD=31=2，CDECAD，=，即=，CE=AE=ACCE=2=【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质21如图，O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知B=30，O的半径为12，弧DE的长度为4（1）求证：DEBC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度【考点】切线的性质；弧长的计算【专题】几何综合题【分析】（1）要证明DEBC，可证明EDA=B，由弧DE的长度为4，可以求得DOE的度数，再根据切线的性质可求得EDA的度数，即可证明结论（2）根据90的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案【解答】（1）证明：连接OD、OE，AD是O的切线，ODAB，ODA=90，又弧DE的长度为4，n=60，ODE是等边三角形，ODE=60，EDA=30，B=EDA，DEBC（2）连接FD，DEBC，DEF=C=90，FD是0的直径，由（1）得：EFD=EOD=30，FD=24，EF=，又EDA=30，DE=12，AE=，又AF=CE，AE=CF，CA=AE+EF+CF=20，又，BC=60【点评】本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于90的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用22如图，已知AB，AC分别是O的直径和弦，点G为上一点，GEAB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG（1）求证：PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且F=30，BF=2，求PCD的周长和AG的长【考点】切线的性质；等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得OCP=90，即1+PCD=90，由GEAB得GEA=90，则2+ADE=90，利用1=2得到PCD=ADE，根据对顶角相等得ADE=PDC，所以PCD=PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到PCD是等腰三角形；（2）连结OD，BG，在RtCOF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于FOC=90F=60，根据三角形外角性质可计算出1=2=30，则PCD=901=60，可判断PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到ODAC，AD=CD，在RtOCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以PCD的周长为3；然后在RtADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到AGB=90，再证明RtAGERtABG，利用相似比可计算出AG【解答】（1）证明：连结OC，如图，PC为O的切线，OCPC，OCP=90，即1+PCD=90，GEAB，GEA=90，2+ADE=90，OA=OC，1=2，PCD=ADE，而ADE=PDC，PCD=PDC，PCD是等腰三角形；（2）解：连结OD，BG，如图，在RtCOF中，F=30，BF=2，OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，OC=2，FOC=90F=60，1=2=30，PCD=901=60，PCD为等边三角形，D为AC的中点，ODAC，AD=CD，在RtOCD中，OD=OC=1，CD=OD=，PCD的周长为3；在RtADE中，AD=CD=，DE=AD=，AE=DE=，AB为直径，AGB=90，而GAE=BAG，RtAGERtABG，AG：AB=AE：AG，AG2=AEAB=4=6，AG=【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质23 如图，AB是O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DFAB于点F，交O于点H，连接DC，AC（1）求证：AEC=90；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形【专题】证明题；几何综合题【分析】（1）连接OC，根据EC与O切点C，则OCE=90，由题意得=，DAC=CAB，即可证明AEOC，则AEC+OCE=180，从而得出AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形由（1）得=，则DCA=CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD根据四边形AOCD为菱形，得OAD是等边三角形，则AOD=60，再由DHAB于点F，AB为直径，在RtOFD中，根据sinAOD=，求得DH的长【解答】解：（1）连接OC，EC与O切点C，OCEC，OCE=90，点CD是半圆O的三等分点，=，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180，AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形理由是：=，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD四边形AOCD为菱形，OA=AD=DC=2，OA=OD，OA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60，DHAB于点F，AB为直径，DH=2DF，在RtOFD中，sinAOD=，DF=ODsinAOD=2sin60=，DH=2DF=2【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形，是中学阶段的重点内容24如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，以AB为直径作O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形；圆周角定理【专题】几何综合题【分析】（1）连接OE，证出RtOADRtOED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出AOD=ABE，利用同位角相等两直线平行得到ODBE，（2）由RtCOERtCOB，得到COD是直角三角形，利用S梯形ABCD=2SCOD，求出xy=48，结合x+y=14，求出CD【解答】（1）证明：如图，连接OE，CD是O的切线，OECD，在RtOAD和RtOED，RtOADRtOED（HL）AOD=EOD=AOE，在O中，ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE（同位角相等，两直线平行）（2）解：与（1）同理可证：RtCOERtCOB，COE=COB=BOE，DOE+COE=90，COD是直角三角形，SDEO=SDAO，SOCE=SCOB，S梯形ABCD=2（SDOE+SCOE）=2SCOD=OCOD=48，即xy=48，又x+y=14，x2+y2=（x+y）22xy=142248=100，在RtCOD中，CD=10，CD=10【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质关键是综合运用，找准线段及角的关系25（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC（2）如图2，AB与O相切于点C，A=B，O的半径为6，AB=16，求OA的长【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质【专题】几何图形问题【分析】（1）证明ABEDCE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）连接OC，根据三线合一定理即可求得AC的长，然后在直角OAC中，利用勾股定理即可求得OA的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，A=D=90，AB=DC，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），EB=EC；（2）解：连接OC，AB与O相切于点C，OCAB，又A=B，OA=OB，AC=AB=16=8，在直角AOC中，OA=10【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题26已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作O，O与边BC相交于点F，O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB（1）求证：ADE