湖北省武汉市黄陂区2015届九年级上月考数学试卷含答案解析.doc

2014-2015学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共30分）1一元二次方程x2=2x的根为( )Ax=2Bx=0Cx=Dx1=0，x2=22下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )ABCD3一元二次方程x23x1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是( )A3B3C1D14如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是( )A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x55如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，AC为O的直径，P=70，则PBC=( )A110B120C135D1456在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )Ay=2x22By=2x2+2Cy=2（x2）2Dy=2（x+2）27某品牌电脑2009年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2009年至2010年，2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为( )A4900（1+x）2=7200B7200（12x）=4900C7200（1x）=4900（1+x）D7200（1x）2=49008如图，点A1、A2、A3、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、Bn在y轴上，若A1B0B1、A2B1B2、AnBn1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则A2014B2013B2014的腰长等于( )A2013B2014C2013D20149如图，ABC是O的内接三角形，AB=4，C=120，则O的半径为( )A2B4C2D410如图，已知ABC中，C=90，AC=BC=，将ABC绕点A顺时针方向旋转60到ABC的位置，连接CB，则CB的长为( )A2BC1D1二、填空题（每小题3分，共18分）11抛物线y=x2+2x3的顶点坐标为_12平面直角坐标系中，点P（3，1a）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b=_13关于x的一元二次方程（p1）x2x+p21=0一个根为0，则实数p的值是_14如图，把ABC绕着点C顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于D点若ADC=90，则A=_度15如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x0）与y2=（x0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DEAC，交y2的图象于点E，则=_16如图，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为_三、解答题（共72分）17用配方法解方程：x2+2x1=018如图，M为弧AB的中点，MDOA于D，MEOB于E，求证：MD=ME19为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？20如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，1）（1）已知ABC与A1B1C1关于原点O对称，请在图中画出A1B1C1，并直接写出C点的对称点C1的坐标为_；（2）以原点O为旋转中心，将ABC顺时针旋转90得到A2B2C2，请在图中画出A2B2C2，并直接写出C点的对称点C2的坐标为_；（3）在（2）中的旋转过程中，请直接写出线段AB扫过的面积为_21已知：关于x的一元二次方程（m1）x2+（m2）x1=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m1）x2+（m2）x1总过x轴上的一个固定点22如图，A是以BC为直径的O上一点，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F（1）求证：AF是O的切线；（2）若BE=5，BF=12，求CD的长23如图，把一张长10cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不小于，设四周小正方形的边长为x cm（1）求盒子的侧面积S侧与x的函数关系式，并求x的取值范围；（2）求当正方形的边长x为何值时侧面积S侧有最大值；（3）若要求侧面积不小于28cm2，直接写出正方形的边长x的取值范围24如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为_，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为_，此时AE与BF的数量关系是_；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围25如图1，已知直线l：y=kx+4k和抛物线y=x2+1，直线l交x轴于A；（1）若直线l与抛物线交于B、C两点，当k=1时，求OBC的面积；（2）若直线l与抛物线交于B、C两点，过B、C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点，当k的值发生变化时，试问：AMAN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请求出其值变化的范围；（3）如图2，P为抛物线上的一个动点，过P作PQx轴于点Q，以P为圆心PQ为半径作P，当P点运动时，P始终经过y轴上的一个定点D，求D到直线l的距离的最大值2014-2015学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共30分）1一元二次方程x2=2x的根为( )Ax=2Bx=0Cx=Dx1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】移项，提公因式，可利用因式分解法求方程的解【解答】解：移项，得x22x=0，提公因式，得x（x2）=0解得x1=0，x2=2故选D【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法2下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )ABCD【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确故选D【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180后与原图重合是解题的关键3一元二次方程x23x1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是( )A3B3C1D1【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=【解答】解：这里a=1，b=3，x1+x2=3故选A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系4如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是( )A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x5【考点】二次函数与不等式（组） 【专题】压轴题【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c0的解集【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）利用图象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，x1或x5故选：D【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型5如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，AC为O的直径，P=70，则PBC=( )A110B120C135D145【考点】切线的性质；圆周角定理 【专题】计算题【分析】连结AB，如图先根据切线长定理得到PA=PB，则PAB=PBA，于是可根据三角形内角和定理计算出PBA=（180P）=55，再根据圆周角定理得到ABC=90，所以PBC=PBA+ABC=145【解答】解：连结AB，如图，PA、PB是O的两条切线，PA=PB，PAB=PBA，PBA=（180P）=（18070）=55，AC为O的直径，ABC=90，PBC=PBA+ABC=55+90=145故选D【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了切线长定理和圆周角定理6在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )Ay=2x22By=2x2+2Cy=2（x2）2Dy=2（x+2）2【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答【解答】解：二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，得y=2x2+2故选B【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减7某品牌电脑2009年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2009年至2010年，2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为( )A4900（1+x）2=7200B7200（12x）=4900C7200（1x）=4900（1+x）D7200（1x）2=4900【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题【分析】关系式为：原价（1降低率）2=现在的价格，把相关数值代入即可【解答】解：第一次降价后的价格为7200（1x），第二次降价后的价格为7200（1x）2，可列方程为6072（1x）2=4900故选D【点评】考查列一元二次方程；得到现在价格的关系式是解决本题的关键；注意降价率的应用8如图，点A1、A2、A3、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、Bn在y轴上，若A1B0B1、A2B1B2、AnBn1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则A2014B2013B2014的腰长等于( )A2013B2014C2013D2014【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形 【专题】规律型【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个的腰长，观察其规律，最后得出结果【解答】解：作A1Cy轴，A2Ey轴，垂足分别为C、E，A1B0B1、A2B1B2都是等腰直角三角形，B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E，设A1（a，a），将点A1的坐标代入解析式y=x2得：a=a2，解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0=，则B1B0=2，过B1作B1NA2F，设点A2（x2，y2），可得A2N=y22，B1N=x2=y22，又点A2在抛物线上，所以y2=x22，即（x2+2）=x22，解得x2=2，x2=1（不合题意舍去），则A2B1=2，同理可得：A3B2=3，A4B3=4A2014B2013=2014，A2014B2013B2014的腰长为：2014故选D【点评】此题主要考查了二次函数的综合题以及在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点9如图，ABC是O的内接三角形，AB=4，C=120，则O的半径为( )A2B4C2D4【考点】垂径定理；解直角三角形 【分析】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，OA，过点O作OEAB于点E，根据圆内接四边形的性质可得出D的度数，故可得出AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出OA的长【解答】解：优弧AB上取点D，连接AD，BD，OA，过点O作OEAB于点E，四边形ACBD是圆内接四边形，C=120，D=60OEAB于点E，AE=AB=2，AOE=D=60，OA=4故选B【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键10如图，已知ABC中，C=90，AC=BC=，将ABC绕点A顺时针方向旋转60到ABC的位置，连接CB，则CB的长为( )A2BC1D1【考点】旋转的性质 【分析】连接BB，根据旋转的性质可得AB=AB，判断出ABB是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB，然后利用“边边边”证明ABC和BBC全等，根据全等三角形对应角相等可得ABC=BBC，延长BC交AB于D，根据等边三角形的性质可得BDAB，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、CD，然后根据BC=BDCD计算即可得解【解答】解：如图，连接BB，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ABC，AB=AB，BAB=60，ABB是等边三角形，AB=BB，在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS），ABC=BBC，延长BC交AB于D，则BDAB，C=90，AC=BC=，AB=2，BD=2=，CD=2=1，BC=BDCD=1故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点二、填空题（每小题3分，共18分）11抛物线y=x2+2x3的顶点坐标为（1，4）【考点】二次函数的性质 【专题】探究型【分析】把抛物线化为顶点式的形式直接解答即可【解答】解：抛物线y=x2+2x3可化为：y=（x+1）24，其顶点坐标为（1，4）故答案为：（1，4）【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键12平面直角坐标系中，点P（3，1a）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b=1【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答【解答】解：点P（3，1a）与点Q（b+2，3）关于原点对称，3=（b+2），1a=3，解得：a=4，b=5，a+b=1故答案为：1【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数13关于x的一元二次方程（p1）x2x+p21=0一个根为0，则实数p的值是1【考点】一元二次方程的解 【专题】方程思想【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，然后解关于p的一元二次方程另外注意关于x的一元二次方程（p1）x2x+p21=0的二次项系数不为零【解答】解：关于x的一元二次方程（p1）x2x+p21=0一个根为0，x=0满足方程（p1）x2x+p21=0，p21=0，解得，p=1或p=1；又p10，即p1；实数p的值是1故答案是：1【点评】此题主要考查了方程解的定义此类题型的特点是，将原方程的解代入原方程，建立关于p的方程，然后解方程求未知数p14如图，把ABC绕着点C顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于D点若ADC=90，则A=55度【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质，可得知ACA=35，从而求得A的度数，又因为A的对应角是A，则A度数可求【解答】解：ABC绕着点C时针旋转35，得到ABCACA=35，ADC=90A=55，A的对应角是A，即A=A，A=55故答案为：55【点评】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角15如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x0）与y2=（x0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DEAC，交y2的图象于点E，则=3【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CDy轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a0），则x2=a，解得x=，点B（，a），=a，则x=，点C（，a），CDy轴，点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，y1=2=3a，点D的坐标为（，3a），DEAC，点E的纵坐标为3a，=3a，x=3，点E的坐标为（3，3a），DE=3，=3故答案为：3【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键16如图，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为22【考点】圆的综合题 【专题】综合题【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到AED=90，接着由AEB=90得到点E在以AB为直径的O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在RtAOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为22【解答】解：连结AE，如图1，BAC=90，AB=AC，BC=，AB=AC=4，AD为直径，AED=90，AEB=90，点E在以AB为直径的O上，O的半径为2，当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在RtAOC中，OA=2，AC=4，OC=2，CE=OCOE=22，即线段CE长度的最小值为22故答案为22【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题三、解答题（共72分）17用配方法解方程：x2+2x1=0【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】计算题【分析】利用配方法求解【解答】解：x2+2x=1，x2+2x+1=2，（x+1）2=2，x+1=，所以x1=1，x2=1【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：先把一元二次方程的二次项的系数化为1和常数项移到方程右边，再方把方程两边加上一次项系数的一半，这样方程左边配成了完全平方式，然后利用直接开平方法解方程18如图，M为弧AB的中点，MDOA于D，MEOB于E，求证：MD=ME【考点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的性质 【专题】证明题【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则MOD=MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME【解答】证明：连接MO，=，MOD=MOE，又MDOA于D，MEOB于E，MD=ME【点评】本题考查了等弧对等弦，以及角平分线的性质关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等19为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？【考点】一元二次方程的应用 【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可【解答】解：由题意，得n+n2+1=111，解得：n1=11（舍去），n2=10故n的值是10【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键20如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，1）（1）已知ABC与A1B1C1关于原点O对称，请在图中画出A1B1C1，并直接写出C点的对称点C1的坐标为（4，1）；（2）以原点O为旋转中心，将ABC顺时针旋转90得到A2B2C2，请在图中画出A2B2C2，并直接写出C点的对称点C2的坐标为（1，4）；（3）在（2）中的旋转过程中，请直接写出线段AB扫过的面积为6【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算 【专题】作图题【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标；（3）根据线段AB扫过的面积等于以OB、OA为半径的两个扇形面积的差列式计算即可得解【解答】解：（1）A1B1C1如图所示，C1（4，1）；（2）A2B2C2如图所示，C2（1，4）；（3）由勾股定理得，OA=，OB=，线段AB扫过的面积=6故答案为：（1）（4，1）；（2）（1，4）；（3）6【点评】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）观察出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差21已知：关于x的一元二次方程（m1）x2+（m2）x1=0（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m1）x2+（m2）x1总过x轴上的一个固定点【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式 【专题】计算题【分析】（1）根据b24ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m1）x2+（m2）x1=0（m为实数）的解的情况；（2）用十字相乘法来转换y=（m1）x2+（m2）x1，即y=（m1）x1（x+1），令y=0即可确定出抛物线过x轴上的固定点坐标【解答】（1）解：根据题意，得=（m2）24（m1）（1）0，即m20，解得m0或m0，又m10，m1，由，得m0，0m1或m1；（2）证明：由y=（m1）x2+（m2）x1，得y=（m1）x1（x+1），抛物线y=（m1）x1（x+1）与x轴的交点就是方程（m1）x1（x+1）=0的两根，则，由得，x=1，即一元二次方程的一个根是1，无论m取何值，抛物线y=（m1）x2+（m2）x1总过x轴上的一个固定点（1，0）【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式=b24ac与0的关系来判断该方程的根的情况；用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度22如图，A是以BC为直径的O上一点，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F（1）求证：AF是O的切线；（2）若BE=5，BF=12，求CD的长【考点】切线的判定与性质；勾股定理 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到EAB=EBA，结合O的切线得出OAAF，从而得出AF是O的切线；（2）先根据勾股定理求得EF的长，再根据切线的性质得出EB=EA=5，即可求得AF的长，然后根据切割线定理求得FC，进而得出BC的长，根据E是BD的中点，得出BD的长，最后根据勾股定理即可求得CD的长【解答】解：（1）连接AB，OA，BC是O的直径，BAC=90，DB是O的切线，DBBC，DBO=90，在RTABD中，E是斜边BD的中线，AE=DE=BE，EAB=EBA，OA=OB，OAB=OBA，EAB+OAB=EBA+OBAEAO=DBO=90，OAAF，AF是O的切线；（2）在RTBEF中，BE=5，BF=12，EF=13，FA、DB是O的切线，EA=EB=5，AF=EF+EA=13+5=18，AF2=FBFC，FC=27，BC=FCFB=2712=15，E是BD的中点，BD=2BE=10，在RTDBC中，【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用等，正确的作出辅助线是解题的关键23如图，把一张长10cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不小于，设四周小正方形的边长为x cm（1）求盒子的侧面积S侧与x的函数关系式，并求x的取值范围；（2）求当正方形的边长x为何值时侧面积S侧有最大值；（3）若要求侧面积不小于28cm2，直接写出正方形的边长x的取值范围【考点】二次函数的应用 【分析】（1）由长方体的侧面积=四个长方形的面积之和就可以表示出S侧与x之间关系式，由底面的短边与长边的比不小于建立不等式就可以求出x的取值范围；（2）由（1）的解析式根据二次函数的性质就可以求出最大值；（3）由侧面积不小于28cm2，建立不等式求出其解即可【解答】解：（1）由题意，得S侧=2（102x）x+2（82x）x，S侧=8x2+36x，x2x0，0x2；（2）S侧=8x2+36xS侧=8x2+36xS侧=8（x）2+a=80x=时，S侧最大=，在对称轴的左侧，S侧随x的增而增大，0x2；当x=2时，S侧=40答：当x=2时，S侧有最大值为40；（3）由题意，得8x2+36x28，2x29x+70，（x1）（2x7）0，解，得原不等式组无解，解，得1x故正方形的边长x的取值范围是：1x【点评】本题考查了长方体的侧面积的运用，二次函数的性质的运用，自变量的取值范围的运用，一元二次不等式的运用，解答时求出二次函数的解答式是关键24如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE=BF；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围【考点】几何变换综合题 【分析】（1）由旋转性质，易得EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；（2）四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则DEF为等边三角形在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF（HL）AE=CF设AE=CF=x，则BE=BF=4xBEF为等腰直角三角形EF=BF=（4x）DE=DF=EF=（4x）在RtADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x2+42=（4x2，解得：x1=84，x2=8+4（舍去）EF=（4x）=44DEF的形状为等边三角形，EF的长为44（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，EFG=90，四边形EFGH的形状为正方形1+2=90，2+3=90，1=33+4=90，2+3=90，2=4在AEH与BFE中，AEHBFE（ASA）AE=BF利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形，BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4xy=S正方形ABCD4SAEH=444x（4x）=2x28x+16y=2x28x+16（0x4）y=2x28x+16=2（x2）2+8，当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，y的取值范围为：8y16【点评】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理、二次函数等知识点本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题25如图1，已知直线l：y=kx+4k和抛物线y=x2+1，直线l交x轴于A；（1）若直线l与抛物线交于B、C两点，当k=1时，求OBC的面积；（2）若直线l与抛物线交于B、C两点，过B、C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点，当k的值发生变化时，试问：AMAN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请求出其值变化的范围；（3）如图2，P为抛物线上的一个动点，过P作PQx轴于点Q，以P为圆心PQ为半径作P，当P点运动时，P始终经过y轴上的一个定点D，求D到直线l的距离的最大值【考点】二次函数综合题 【分析】（1）由抛物线与直线方程求得交点B、C的坐标，然后结合三角形的面积公式来求OBC的面积；（2）由抛物线与直线方程得到x2kx+14k，根据根与系数的关系求得xB+xC=4k，xBxC=4（14k），易得点A的坐标，所以AMAN=（xB+4）（xC+4）=20，20是定值；（3）当DAl时D到l的距离最大利用勾股定理和二次函数最值的求法进行解答即可【解答】解：（1）如图1，连接OB、OCk=1，直线l为y=x+4，E（0，4），；（2），xB+xC=4k，xBxC=4（14k）由y=kx+4k得A（4，0），AMAN=（xB+4）（xC+4）=xBxC+4（xB+xC）+16=4（14k）+44k+16=20；（3）如图2，直线l是绕点A旋转，dDA，当DAl时D到l的距离最大，【点评】本题考查了二次函数综合题解题时需要掌握抛物线与直线交点的求法，二次函数最值的求法，根与系数的关系以及三角形的面积计算综合性较强，难度适中运用数形结合、方程思想是解题的关键