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第七章第四节 正态总体的区间估计,引言,前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等.,寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.,使得,称 为 与 之间的误差限 .,我们选取未知参数的某个估计量 ，根据置信水平 ，可以找到一个正数 ，,只要知道 的概率分布，确定误差限并不难.,下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.,这个不等式就是我们所求的置信区间.,前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要复习一下.,在求置信区间时，要查表求分位数.,例如:,例如:,书末附有 分布、t 分布、F分布的上侧分位数表，供使用. 需要注意的事项在教材上有说明.,至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决.,现在回到置信区间题目上来.,一、 置信区间定义：,则称区间 是 的置信水平（置信度、 置信概率）为 的置信区间.,可见，,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.,N(0, 1),选 的点估计为,二、置信区间的求法,解：,寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.,使,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,从中解得,也可简记为,于是所求 的 置信区间为,从解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn),3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知.,5. 对“aS(T, )b”作等价变形,得到如下 形式:,则 就是 的100( )的置信区间.,这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,某工厂生产的零件长度X被认为服从N( ,0.04),现从该产品中随机抽取6个,其长度的测量值如下(单位毫米): 14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1. 求:该零件长度的置信系数为0.95的区间估计.,n=6, =0.05, Z/2 =Z0.025=1.96 2=0.22 .,解:,例1,(2) 已知,因方差未知，取,对给定的置信度 ,确定分位数,使,即,从中解得,由于,从中解得,2 求方差 的置信水平为 的区间估计.,于是 即为所求.,为了估计一件物体的重量,将其称了1O次,得到的重量(单位：千克)为: 10.l, 10, 9.8, 10.5, 9.7,l0.l, 9.9, 10.2, 1O.3, 9.9 设所称出的物体重量X服从N(,2). 求:该物体重量的置信系数为0.95的置信区间,解:,例2,n=10, =0.05, t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622,求: 2的置信系数为0.95的置信区间.,解:,例3(续例2),n=10, =0.05,S2=0.0583,查附表得:,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,又若统计量 满足,由于方差 未知，取枢轴量,解： 的点估计取为样本均值,对给定的置信水平 ，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95的单侧置信下限是,1065小时,
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