大学物理第二章行波波动方程.ppt

2.1 行波 一机械波的产生 二描述波的物理量 2 .2 平面简谐波 一波函数 二波动曲线 2 .3 波动方程 作业：2.3、 2.6、2.7,第二章 波动学基础,振动在空间的传播过程叫做波动,第二章 波动学基础,机械振动在媒质中的传播称为机械波。,如声波、水波、地震波等,变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。,如无线电波、光波、等,虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。,一. 机械波的产生,2.1 行波,机械波产生的条件,振源,作机械振动的物体波源,媒质,传播机械振动的物体,在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。,什么是物质的弹性？,2.3 物体的弹性变形,物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变,当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。,在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式：,线变,切变,体变, 线变,一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。,以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积， 则叫FS 叫做应力，以 l 表示棒的长度，,实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。,以 l 表示在外力 F 作用下的长度变化。 则 ll 叫相对长度变化，又叫应变, 线变,胡克定律,在弹性限度内，应力和应变成正比。,为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫杨氏模量。, 切变,一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图，,外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力 施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ， 叫切变的应变。,这种形式的形变叫切变。, 切变,在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。,称作切变弹性模量。由材料的性质决定。, 体变,一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图，,以 V 表示原体积，P 表示压强的改变， 以 V V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有,叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,“”表示压强的增大总导致体积的减小,一. 机械波的产生,2.1 行波,机械波产生的条件,振源,作机械振动的物体波源,媒质,传播机械振动的物体,在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。,什么是物质的弹性？,机械振动是如何靠弹性来传播呢？,机械波的传播,纵波和横波,按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为,横波,纵波,振动方向与波传播方向垂直的波。,振动方向与波传播方向在一条直线上的波。,如弹簧中传播的波以及声波,如细绳中传播的波,波传播是由于质元的形变， 对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？,横波,从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分,横波只能在弹性固体中传播,纵波,在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。,纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播,波的特征,不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流” 。,(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。,(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现-波是振动状态的传播,(4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元-质元的振动状态相同,波的几何描述,波的传播是振动的传播而非质元的迁移， 由于振动状态常用位相来表示， 所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。,为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系 以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。,波线：,用带箭头的线表示波传播的方向。,波面：,媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。,波前：,波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的 各点构成的面,显然是一个同位相面， 由于这一波面在波传播方向的最前方， 所以又叫做波前或波阵面。,根据波前的形状不同， 波可分为平面波，球面波，柱面波。,二描述波的物理量,周期 T、频率 ,波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。,媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。,在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离， 媒质的质元的振动状态在各时刻都相同 -质元的振动同相,表明波具有空间上的周期性。,引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。,波长 ,在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间 的距离叫做波长。记作 ,从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长,纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长,横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。,周期 T、频率 与波长 的关系,波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。,如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度， 则这一联系可用公式表示为,这是表示波的基本特征的重要公式,将上式改写,表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。,波速 u,波速的大小决定于媒质的性质，,振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度,E 杨氏弹性模量 体密度,(2) 固体棒中的纵波,(1) 固体中的横波,G 切变模量,G E, 固体中 横波 纵波,(3) 弹性绳上的横波,T 绳的初始张力, 绳的线密度,(4) 流体中的声波,k体积模量, 0 无声波时的流体密度,= Cp/Cv , 摩尔质量,理想气体:,2.2 简谐波,如果媒质中所传播的是简谐振动， 则媒质中各质元均作简谐振动， 则相应的波称作简谐波，又叫正弦波。,平面简谐波：波面是平面的简谐波。 球面简谐波：波面是球面的简谐波。,一平面简谐波的波函数（波的表达式）,波函数的含义：,与简谐振动表达式对比说明,x =Acos ( t o ),是简谐振动质点的运动方程 表示时刻 t 质点离开平衡位置 的位移，取决于位相 t o,一平面简谐波的波函数（波的表达式）,波函数 波的表达式,给出一个能够描述媒质中所有质元的 运动状态的方程，即振动表达式 应表示出所有质元在时刻 t 的位移， 除了取决 t o 外， 还应与质元的位置坐标有关,下面来写出平面简谐波的表达式,假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。,波传播的速度为 ，方向如图,选择平行波线方向的直线为 x 轴。,在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同）， 它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。 因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的 振动状态就可以了。,即:平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元 的振动表达式,已知平面简谐波沿 x 轴正向传播， x 轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示,设 t 时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：,由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。,则当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时,P 点质元将以相同的振幅和频率， 重复 o 点质元的振动， 但 P 点振动的位相要比 o 点落后。,由于沿波传播方向每隔一个波长 ， 位相就要落后 2 ，每隔单位长度位相落后 2,设 P 点距 o 点的距离为 x， P 点振动的位相要比 o 点落后 x 2 ,P 点振动的位相要比 o 点落后 x2 ,t 时刻o 点质元的振动位相：,t 时刻 P 点质元的振动位相：,结果：,t 时刻 P点质元振动的振幅和频率与o 点相同， P 点振动的位相,t 时刻 P点质元振动的表达式：,因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数,利用关系,波函数还有其它形式,令,波数,平面简谐波波函数的物理意义,当 x 一定时， 即对于某一确定位置（ xx0 ）的质元。,波函数给出了xx0 处质元作简谐振动的表达式,当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t t0 ）。,波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移,当x、t 变化时，,波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻 离开平衡位置的位移,表达式也反映了波是振动状态的传播,沿负向传播的平面简谐波的表达式,二波动曲线,根据波动表达式 以 t 时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标， 以质元离开平衡位置的位移y 为纵坐标， 画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。,波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。,波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值 等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。,不同时刻对应有不同的波形曲线,将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数,比较两式,波动方程的运动学推导,2.4 波动方程,波动方程,注意：,波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。,波动方程,波动方程的动力学推导,以平面波在固体细长棒中的传播为例,以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义.,设有一截面积为S ，密度为 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。,当有纵波传播时，该体积元发生线变， 设 t 时刻体积元正被拉长(先做力分析应力分析）：,这一体积元的长度为 dx，体积,选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一体积元 ab ，,左端受到应力为，方向向左； 右端受到应力为 d ，方向向右；,应力是 x 和 t 的函数,t 时刻体积元所受合力,体积元质量为,根据牛顿第二定律有,在应力作用下体积元发生线变（分析长度方向的变化应变分析）：,a 端发生的位移为 y ， b 端发生的位移为 y dy,由图上几何关系，体积元长度变化为 dy,t 时刻,由图上几何关系，体积元长度变化为 dy,t 时刻,体积元的原长dx,体积元的应变为,由胡克定律,杨氏模量。,t 时刻,牛顿第二定律,应力公式,速度公式,例1., o 点振动表达式；, P 点振动表达式；, Q，P 点的位相差, 波函数, Q 点振动方向, P 点振动方向；,m,m, o 点振动表达式；,解：,设 o 点振动表达式,由波形图, o 点振动表达式；,解：,解：, 波函数,解：, P 点振动表达式；,解：, Q，P 点的位相差, Q 点振动方向, P 点振动方向,向上,向下,例2.,求: 波的周期、角频率和波数, 波函数,某平面简谐波在 t=0 和 t=1s 时的波形如图 （ t=1s 时的波形对 t=0 的波形图向右移过 /4 ),解：,比较两图可知在 1s 内波沿 x 正方向移动 /4,波的周期, 波的周期、角频率和波数,波长,解：, 波函数,设 o 点振动表达式,解：, 波函数,例3:在下面几种说法中正确的是:,A,波源不动时,波源的振动频率与波动频率在数值上 是不同的.,B,波源振动的速度与波速相同.,C,在波传播方向上的任一质点的振动位相 总是比波源的位相滞后,D,在波传播方向上的任一质点的振动位相 总是比波源的位相超前.,C,例题4,一平面简谐波的波动方程为,t=0时的波形曲线如图，则：,，a点的振幅为m;,波长为m,，两点间的相位差为,，波速为m/s,C,例5，若一平面简谐波的波动方程为,式中的，为正值恒量，则,，波速为,，周期为,，波长为,，圆频率为,例6，一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向 传播，原点处质元的振动曲线如图所示 （）求解并画出x=25m处质元的振动曲线 （）求解并画出t=3s时的波形曲线,