资源描述
2019-2020年高三数学12月模块诊断试题一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合,则( )A B. C. D. 2.复数满足,则等于( )A B C D3.已知是简单命题,则“是真命题”是“是假命题”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.下列结论正确的是( )A若直线平面,直线平面,则B若直线平面,直线平面,则C若两直线与平面所成的角相等,则D若直线上两个不同的点到平面的距离相等,则5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A24里 B48里 C96里 D192里6已知数列为等差数列,满足 ,其中 在一条直线上, 为直线外一点,记数列的前项和为,则 的值为( )A B C D7.若直线和圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为( )A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个8. 定义在上的函数满足:,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A B C D9. 在长为的线段上任取一点. 现作一矩形,邻边长分别等于线段,的长,则该矩形面积大于的概率为( )A. B. C. D. 10.已知三棱锥,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,ABC=120,三棱锥的体积为,则球的表面积是( )A B C D11. 设双曲线左,右焦点为是双曲线上的一点,与轴垂直,的内切圆方程为,则双曲线方程为( )A B C D12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )A B C D二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13曲线在处的切线方程为_.ABO14题图14.如图,在圆中,为圆心,为圆的一条弦,则 15在直线上任取一点,过作抛物线的切线,切点分别为、,则直线恒过的点是 16.函数,对任意,存在,使得成立, 则实数的取值范围是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)在等比数列()求的值;()若的值18(本小题满分12分)某学校高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成5组:100,110),110,120),120,130),130,140),140,150分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰好为一男一女的概率;(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附:K2=19(本小题满分12分)在三棱柱中,侧棱平面,且,分别是棱,的中点,点在棱上,且()求证:平面;()求三棱锥的体积20(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,其左,右焦点分别为,点是坐标平面内一点,且,其中为坐标原点.()求椭圆的方程;()过点,且斜率为的动直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()求函数的单调减区间;()若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.请在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。22. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点(I)写出直线的参数方程;() 求 的取值范围23. (本小题满分10分) 选修4-4:不等式选讲已知函数 (I)求不等式的解集;(II)设,若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.山西大学附属中学xxxx高三第一学期12月(总第六次)模块诊断 数学试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合,则( )A B. C. D. 【答案】B.2.复数满足,则等于( )A B C D【答案】C试题分析:因为,所以故选C.3.已知是简单命题,则“是真命题”是“是假命题”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】命题的否定;复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由pq为真命题,知p和q或者同时都是真命题,由p是假命题,知p是真命题由此可知“pq是真命题”是“p是假命题”的充分不必要条件【解答】解:pq为真命题,p和q或者同时都是真命题,由p是假命题,知p是真命题“pq是真命题”推出“p是假命题”,反之不能推出则“pq是真命题”是“p是假命题”的充分而不必要条件故选A4.下列结论正确的是( )A若直线平面,直线平面,则B若直线平面,直线平面,则C若两直线与平面所成的角相等,则D若直线上两个不同的点到平面的距离相等,则5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A24里B48里C96里D192里【解答】解:由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得=378,解得a1=192,第此人二天走192=96步故选:C6已知数列为等差数列,满足,其中在一条直线上,为直线外一点,记数列的前项和为,则的值为( )A B C D【答案】A试题分析:依题意有,故.7.若直线和圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为( )A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个【答案】D. 试题分析:由题意得,点在椭圆的内部,交点个数为2个,故选D.8.定义在上的函数满足:,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A B CD【答案】A试题分析:设则在定义域上单调递增,又不等式的解集为.选A理科9.已知,则函数的图象恒在轴上方的概率为( )A B C D【答案】D试题分析:因为函数的图象恒在轴上方,则因为,所以,所以,所以,所以如图建立的直角坐标系,如图所示,图中阴影部分的面积即为满足条件的范围因为,所以所求概率,故选C(文科)9. 在长为12cm的线段上任取一点. 现作一矩形,邻边长分别等于线段,的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D10.已知三棱锥,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,ABC=120,三棱锥的体积为,则球的表面积是( )A B C D【答案】A试题分析:的面积是,设球心到平面的距离为,则,所以外接圆的直径,所以球的半径,故所求的球的表面积是故A正确11.设双曲线左,右焦点为是双曲线上的一点,与轴垂直,的内切圆方程为,则双曲线方程为( )A B C D【答案】D试题分析:由题意,点是双曲线左支上一点,由双曲线的定义可知,若设的内切圆心在横轴上的投影为,则该点也是内切圆与横轴的切点,设分别为内切圆与的切点,根据切线的性质可知,有,即,所以内切圆的圆心横坐标为,则,又由与轴垂直,则点,且,所以,又,解得,所以双曲线的方程为,故选D12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )A B C D【答案】B试题分析:由条件知,方程,即在上有解设,则因为,所以在有唯一的极值点因为,又,所以方程在上有解等价于,所以的取值范围为,故选B二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)(理科)13. ,则.28(文科)13曲线在处的切线方程为_.【答案】.试题分析:由题意得,而时,切线方程为,即,故填:.ABO14题图14.如图,在圆中,为圆心,为圆的一条弦,则815在直线上任取一点,过作抛物线的切线,切点分别为、,则直线恒过的点是【答案】(0,2)16.函数,对任意,存在,使得成立, 则实数的取值范围是【答案】【解析】试题分析:依题意可知,故,所以,解得.考点:三角恒等变换,恒成立问题【思路点晴】本题考查三角恒等变换,恒成立问题等知识点.题目的关键语句在于“对任意,存在,使得成立,”也就是说,的函数值,都有的函数值和它相对应,由此可知的值域是值域的子集.接下来利用三角函数求最值的方法,求出的值域,进而求得的取值范围.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在等比数列()求的值.()若的值17. (1)依题意,由正弦定理及-3分-6分 (2)由由(舍去负值)-8分从而,-9分由余弦定理,得代入数值,得解得:-12分理科18.(本小题满分12分)某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响.()求比赛进行局结束,且乙比甲多得分的概率;()设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望理科18解()由题意知,乙每局获胜的概率皆为.1分比赛进行局结束,且乙比甲多得分即头两局乙胜一局,3,4局连胜,则.()由题意知,的取值为.5分则6分7分9分所以随机变量的分布列为10分则12 文科18(本小题满分12分)某学校高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成5组:100,110),110,120),120,130),130,140),140,150分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰好为一男一女的概率;(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附:K2=【考点】独立性检验;频率分布直方图【分析】(1)根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数,利用列举法计算基本事件数,求出对应的概率值;(2)由频率分布直方图计算对应的数据,填写列联表,计算K2值,对照数表即可得出概率结论【解答】解:(1)由已知得,抽取的100名学生中,男生60名,女生40名,分数小于等于110分的学生中,男生人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;女生有400.05=2(人),记为B1,B2;从中随机抽取2名学生,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);其中,两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2);故所求的概率为P=(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名学生中,男生 600.25=15(人),女生400.375=15(人);据此可得22列联表如下:数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得K2=1.79;因为1.792.706,所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”(理科)19(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为的等边三角形,和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值【答案】(1)详见解析;(2)【解析】试题分析:(1)由题可知,线面平行通常有三种方法,平行四边形法,中位线法,构造辅助平面法,本题中采用平行四边形法,通过计算EF的边长,可得四边形是平行四边形,故有平面;(2)解法一,通过线面垂直的判定方法得出,即就是二面角的平面角,运用向量的数量积定义,即可得出余弦值为,解法二,建立空间直角坐标系,分别求出平面ABC与平面BCE的法向量,运用向量的数量积定义,即可得出余弦值为;试题解析:(1)由题意知,都是边长为的等边三角形,取中点,连接,则,又平面平面,平面,作平面,那么,根据题意,点落在上,和平面所成的角为,四边形是平行四边形,不包含于平面,平面,平面(2)解法一:作,垂足为,连接,平面,又,平面,就是二面角的平面角中,即二面角的余弦值为解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,所以,又由图知,所求二面角的平面角是锐角,二面角的余弦值为(文科)19(本小题满分12分)在三棱柱中,侧棱平面,且,分别是棱,的中点,点在棱上,且(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积试题解析:(1)设为的中点,连结,为的中点,为的中点,又为的中点,又为的中点,为的中点,又,四边形为平行四边形,又,又平面,平面,平面;(2),分别为,的中点,面,而,20(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,其左,右焦点分别为,点是坐标平面内一点,且,其中为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过点,且斜率为的动直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1),设,又,从而椭圆的方程为 4分(2)设代入椭圆整理得,成立.记,则,设存在定点,,存在定点满足要求. 12分21.(本小题满分12分)已知函数()求函数的单调区间;()若关于的不等式恒成立,求整数的最小值;()若正实数满足,证明试题解析:(),由,得,又,所以所以的单调减区间为()令,所以当时,因为,所以所以在上是递增函数,又因为,所以关于的不等式不能恒成立当时,令,得所以当时,;当时,因此函数在是增函数,在是减函数故函数的最大值为令,因为,又因为在是减函数所以当时,所以整数的最小值为2()由,即,从而 令,则由得,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增所以, 所以,又,因此成立请在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。22. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点(1) 写出直线的参数方程;(2) 求 的取值范围22、()为参数) 4分()为参数)代入,得 ,10分23. (本小题满分10分) 已知函数 (I)求不等式的解集;(II)设,若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.【解析】:()原不等式可化为: 即:2分 由得 由得 综上原不等式的解为5分()原不等式等价于令,即,8分由,所以,所以.10分考点:本题主要考查绝对值不等式的解法。
展开阅读全文