2019-2020年高三数学 专题2 函数的图象与性质练习.doc

2019-2020年高三数学 专题2 函数的图象与性质练习一、前测训练1求下列函数的值域：（1）ysin(2x) x0， （2）y （3）yx（4）f(x)()xx，x1，2 （5）f(x)x2 （6）f(x)xlnx答案：（1），1；（2）(1，1；（3）(，；（4），3；（5）21，)； （6），).2（1）f(x)x()的奇偶性为 （2）若f(x)为奇函数，则a的值为 答案：（1）偶函数；（2）3（1）函数f(x)的增区间为 ； (2)f(x)log(x22x)的增区间为 ；(3)f(x)lnx2x2的减区间为 答案：（1）(，1)和(1，)；（2）(，0)；（3）(，) 4(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)1，则f(x) （2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)=0，则f(x)0的x的取值范围是 答案：（1）；（2）(2，2).5设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，(1)则f(7.5) ；(2)当x4，6时，f(x) 答案：（1）；（2）6（1）已知函数f(x)ln(2x1)，将函数yf(x)图象向右平移2个单位后的解析式为 与函数yf(x)图象关于y轴对称的函数解析式为 （2）方程xm有一个实数解，则m的取值范围为 答案：（1）yln(2x3)；yln(12x)；（2）1，1).7（1）若函数ylog2(x2)的图象与yf(x)的图象关于x1对称，则f(x)= （2）已知f(x)log2|ax3|关于x1对称，则实数a 答案：（1）log2(4x)；（2）3或0二、方法联想1值域求法（1）图象法；（2）复合函数法；（3）部分分式法；（4）换元法；（5）单调性法；（6）基本不等式法；（7）导数法2判断函数奇偶性方法1 定义法；方法2 图象法优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域但证明奇偶性只能用定义法已知函数奇偶性方法1 若函数为奇函数且0在定义域内，用f(0)0；方法2 利用特殊值法；方法3 利用定义 优先用方法1，再用方法2，注意检验但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性3判断函数单调性方法1 图象法；方法2 复合函数法；方法3 导数法；方法4 定义法 判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法 注意：单调性证明只能用导数法和定义法4奇偶性、单调性应用处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶)函数y轴两侧单调性口诀：奇同偶反5奇偶性、对称性、周期性的综合常用结论： 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(xT) f(x)，则称f(x)为周期函数 若函数满足f(xa)f(x)，则f(x)的周期为2a 若函数满足f(xa) ，则f(x)的周期为2a若函数满足f(xa) ，则f(x)的周期为2a6函数图象变换 (一)对称变换； (二)翻折变换； (三)平移变换； (四)伸缩变换处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用7图象的对称问题 方法1 相关点法；方法2 特殊值法 常用结论：若函数满足f(ax)f(bx)，则f(x)图象关于x 对称若函数满足f(ax)f(bx)m，则f(x)图象关于(，)对称三、例题分析第一层次例1.已知函数f(x)（1）试判断f(x)的奇偶性并给予证明；（2）求证：f(x)在区间(0，1)上单调递减.解：（1）f(x)为奇函数. （2）略.【教学建议】1.本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个，一是忽视先求出定义域，直接判断f(x)与f(x)的关系；二是在第二问中机械套用定义，对f(x1)、f(x2)直接作差，反而无法证明函数的单调性.2.对于一个函数f(x)，它由定义域和对应法则唯一确定，因此对函数一系列的性质的研究也都应该在定义域的基础上展开，判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称，求函数的单调区间也必须首先判断函数的定义域.3.本题中的函数f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成，因此其单调性的证明转化为几个基本初等函数单调性的判断，证明过程的最后一步利用了不等式的性质：若ab0，cd0，则acbd.例2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.（1）求证：f(x)是周期函数；（2）当x2，4时，求f(x)的解析式；（3）计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)解：（1）f(x)是周期为4的周期函数（2）f(x)x26x8，x2，4（3）1.【教学建议】1.本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明f(x4)f(x)，即可说明f(x)是周期函数；第二问利用奇偶性求得函数f(x)在2，0上的解析式，进而利用周期性求得f(x)在2，4上的解析式；第三问则是利用函数值的周期性求和.2.本题的易错点是在第二问的求解析式，应强调将所求区间上的x转化为符合已知区间上的变量特征，进而利用已知的解析式求出结论.3.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T.例3.函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：（1）f(1)0.（2）f(x)为偶函数（3）x的取值范围是x|x或x3或3x5【教学建议】1.本题考查函数的奇偶性和单调性.第一问解决有关求函数值的赋值问题；第二问通过赋值研究f(x)、f(x)的关系；第三问则必须将不等式转化为f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN或MN的形式求解2.对函数性质的考查常常是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数，也有抽象函数.在解题中应充分利用问题的条件推出函数的性质，从而根据函数的性质解题.3.函数的奇偶性反映了函数的对称特征，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数的性质：f(|x|)f(x).4.数学解题的过程就是一个转化的过程，每一步等价转化都必须是正确的、规范的，如本例中：f(x)为偶函数，不等式等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.这里的易错点是漏掉(3x1)(2x6)0第二层次例1.已知函数f(x)（1）当ab1时，求满足f(x)3x的x的取值范围；（2）若yf(x)的定义域为R，又是奇函数，求yf(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.解：（1）x的取值范围为(，1（2）f (x)(1). f (x) 在R上单调递减.【教学建议】1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题.2.本题的易错点是第二问中忽视由“f(x)的定义域为R”所得到的“b0”的条件.3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.4.判断函数的单调性的常用方法有：能画出图象的一般用数形结合法去观察；由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；对于解析式较复杂的一般用导数法；对于抽象函数的一般用定义法.例2.函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：（1）f(1)0.（2）f(x)为偶函数（3）x的取值范围是x|x或x3或3x5【教学建议】1.本题考查函数的奇偶性和单调性.第一问解决有关求函数值的赋值问题；第二问通过赋值研究f(x)、f(x)的关系；第三问则必须将不等式转化为f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN或MN的形式求解2.对函数性质的考查常常是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数，也有抽象函数.在解题中应充分利用问题的条件退整函数的性质，从而根据函数的性质解题.3.函数的奇偶性反映了函数的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数的性质：f(|x|)f(x).4.数学解题的过程就是一个转化的过程，每一步等价转化都必须是正确的、规范的，如本例中：f(x)为偶函数，不等式等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.这里的易错点是漏掉(3x1)(2x6)0例3.设n为正整数，规定：fn(x)fff(x)，已知f(x).（1）解不等式f(x)x；（2）设集合A0，1，2，对任意xA，证明：f3(x)x；（3）探求f2 014；（4）若集合Bx|f12(x)x，x0，2，证明：B中至少包含有8个元素解：（1）解集为.（2）证明：f(0)2，f(1)0，f(2)1，当x0时，f3(0)f(f(f(0)f(f(2)f(1)0；当x1时，f3(1)f(f(f(1)f(f(0)f(2)1；当x2时，f3(2)f(f(f(2)f(f(1)f(0)2.即对任意xA，恒有f3(x)x.（3）.（4）由（1）知，f，fn.则f12.B.由（2）知，对x0，或1，或2，恒有f3(x)x，f12(x)f43(x)x.则0，1，2B.由（3）知，对x，恒有f12(x)f43(x)x，B.综上所述，0，1，2，B.B中至少含有8个元素【教学建议】1.本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识并直接套用，第三问则需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律2.形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；对于分段函数的求值（解不等式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.3.自定义问题是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，它要求在短时间内通过阅读、理解，解决题目给出的问题.解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从新定义中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决.4.周期性是函数在定义域上的整体性质，本题体现的是函数值的周期性.第三层次例1.已知函数f(x)（1）当ab1时，求满足f(x)3x的x的取值范围；（2）若yf(x)的定义域为R，又是奇函数，求yf(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.解：（1）x的取值范围为(，1（2）f (x)(1). f (x) 在R上单调递减.【教学建议】1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题.2.本题的易错点是第二问中忽视由“f(x)的定义域为R”所得到的“b0”的条件.3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.4.判断函数的单调性的常用方法有：能画出图象的一般用数形结合法去观察；由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；对于解析式较复杂的一般用导数法；对于抽象函数的一般用定义法.例2.已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)（1）证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；（2）若f(x)是偶函数，且x0，2时，f(x)2x1，求x4，0时的f(x)的表达式解：（1）证明：设P(x0，y0)是函数yf(x)图象上任一点，则y0f(x0)，点P关于直线x2的对称点为P(4x0，y0)f(4x0)f(2(2x0)f(2(2x0)f(x0)y0，P也在yf(x)的图象上，函数yf(x)的图象关于直线x2对称（2）f(x)【教学建议】1.本题设奇函数的对称性、奇偶性.第一问中函数图象对称性的证明可转化为图象的上任意点的对称性的证明.第二问中函数f(x)在4，0上表达式是分段函数.2.在第二问中，“f(2x)f(2x)”与“f(4x)f(x)”都是表示函数yf(x)的图象关于直线x2对称，又由函数的奇偶性得到：f(4x)f(x)f(x).这样可以进一步得到定义在R上的函数f(x)是周期函数，4是它的一个周期.因此第二问也可以通过说明函数的周期性来求解析式.事实上，若一个函数具备奇偶性、对称性、周期性中两个性质，那么它一定也具备第三个性质.例3.已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)（1）若a1，作函数f(x)的图象；（2）设f(x)在区间1，2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；（3）设h(x)，若函数h(x)在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围解：（1）作图象如右图所示（2）g(a)（3）实数a的取值范围为【教学建议】1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h(x)0对于任意的x1，2恒成立来解决，也可以用定义法来解决2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物线的对称轴.3.本题的易错点有三个，一是第（2）问中容易遗漏“a0”的情况；二是第三问用导数解决函数的单调性问题时，误将“h(x)a0在1，2上恒成立”写成“h(x)a0在1，2上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a0”的情形.四、反馈练习