2019-2020年高三上学期期末考试数学试卷 含解析.doc

2019-2020 年高三上学期期末考试数学试卷 含解析 考生须知： 1本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相 应数字。 3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1.已知集合， ，则 （ ） A B C D 2.若复数，其中为虚数单位，则 = （ ） A1 B1+ C1+ D1 3. “一条直线与平面内无数条直线异面 ”是“这条直线与平面平行”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4. 二项式的展开式中常数项为 （ ） A B C D 5.若向量 ,且，则的值是 （ ）(sin2,co),(1cs)ab A B C D2 6.点 P 为直线上任一点， ，则下列结论正确的是 （ ） A B C D以上都有可能 7.设函数，若关于 x 的方程恰有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 （ ） A B C D 8.已知数列的首项，前 n 项和为，且满足，则满足的 n 的最大值是 （ ） A8 B9 C10 D11 9.在中，点 A 在 OM 上，点 B 在 ON 上，且， ，若，则终点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界） 时，的取值范围是 （ ） A B C D 10.点 P 为棱长是 2 的正方体的内切球 O 球面上的动点，点 M 为的中点，若满足，则动点 P 的轨迹的长度为 （ ） A B C D 二、填空题:本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是_，表面积是 _. 12.袋中有 3 个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字， 随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出 一个，将其上的数字记为，依次下去，第 n 次随机摸出一个，将 其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望 是_；（2）当时的概率是 _。 13.设是定义在 R 上的最小正周期为的函数，且在上 ， 5sin,0)6()co,3xfa 则_ ,_. 14.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O 为坐标原点，点 A、 B 在此抛物线上，则此抛物线的 方程是_，面积是_。 15.对于任意实数和 b，不等式 恒成立，则实数 x|)2|1(| xaba 的取值范围是_。 16.设有序集合对满足： ，记分别表示集合的元素个1,2345,678,ABAB 数，则符合条件的集合的对数是_. 17.已知 A 是射线上的动点，B 是 x 轴正半轴的动点，若直线 AB 与圆 相切，则的最小值是 _. 3、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. （本题满分 14 分）已知三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 第 11 题 ，cos3in0aCAbc （1 ）求角 A 的值； （2 ）求函数 在区间的值域。()os24insfxx 19. (本题满分 15 分)如图四边形 PABC 中， ， ，现把沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成，设此 时 P 在平面 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在 AC 的同侧） ， （1 ）求证：平面 PAC； （2 ）求二面角 PBCA 大小的正切值。 20. (本题满分 15 分)定义在 D 上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界。已知函数， （1 ）当时，求函数在 D 上的上界的最小值； （2 ）记函数，若函数在区间上是以 3 为上界的有界函数，求实数的取值范围。 21. (本题满分 15 分)椭圆的离心率为，左焦点 F 到直线：的距离为，圆 G：， （1 ）求椭圆的方程； （2 ）若 P 是椭圆上任意一点，EF 为圆 N：的任一直径，求的取值范围； （3 ）是否存在以椭圆上点 M 为圆心的圆 M，使得圆 M 上任意一点 N 作圆 G 的切线， 切点为 T，都满足？若存在，求出圆 M 的方程；若不存在，请说明理由。 22. (本题满分 15 分)已知数列满足， (1)若数列是常数列，求 m 的值； （2 ）当时，求证：； （3）求最大的正数，使得对一切整数 n 恒成立，并证明你的结论。 参考答案 1.C 【解析】本题考查集合的基本运算.,所以.选 C. 【备注】集合的基本运算为高考常考题型，要求熟练掌握. 2.A 【解析】本题考查复数的概念与运算.,所以.选 A. 3.B 【解析】本题考查充分必要条件.由一条直线与平面内无数条直线异面,可得,这条直线与平 面平行或这条直线与平面相交；反之,由一条直线与平面平行可得, 这条直线与平面内无数 条直线异面.所以“一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的必要不充 分条件.选 B. 4.B 【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式=,令,可得展开式中常数项为.选 B. 【备注】二项展开式的通项公式：. 5.A 【解析】本题考查平面向量的数量积,二倍角公式.=.选 A. 6.C 【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.若,则点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线,其 方程为.因为直线是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有.选 C. 7.D 【解析】本题考查分段函数,函数与方程.作出函数的图象.由方程,得或.显然有一个实数根,因 此只要有两个根(不是),利用图象可得,实数 a 的取值范围是 .选 D. 8.B 【解析】本题考查等差、等比数列,数列求和.当时,得.当时,有,两式相减得.再考虑到,所以数 列是等比数列,故有.因此原不等式化为,化简得,得,所以 n 的最大值为 9.选 B. 9.D 【解析】本题考查平面向量的数量积.利用向量知识可知,点落在平面直角坐标系中两直线 及 x 轴、y 轴围成的四边形(含边界)内.又因为,其中表示点与点 Q 连线的斜率.由图形可知,所 以.选 D. 10.C 【解析】本题考查空间几何体的相关运算.直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内.又点 P 在内接球的球面上,故点 P 的轨迹是正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到 的小圆.可求得点 O 到此平面的距离为 ,截得小圆的半径为,所以以点 P 的轨迹的长度为.选 C. 11.、 【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,易知此几何体是 半个圆锥.该半圆锥的底面半径为 4,高为 6,母线长.所以该几何体的体积是,表面积是 . 12.、 【解析】本题考查古典概型,随机变量的数学期望.(1)可以求得随机变量 的分布列如表所示, 所以的期望为.(2)当时,即,即有个 2,1 个 1,即 1 的位置有 n 种情况,所以所求的概率是. 0 1 2 4 p 13.、 【解析】本题考查分段函数,三角函数的性质.由于的周期为,则,即,解得.此时 . 14.、 【解析】本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为,所以抛物线的方程是.设,由抛 物线的对称性可知,.又因为,得,解得(不妨取正值), 从而可得 面积是. 15. 【解析】本题考查基本不等式,绝对值不等式.原不等式可化为 恒成立,因此只要求的最小值.因为 ,所以,且当时取到最小值为 2.因此有,解得. 16.44 对 【解析】本题考查集合与元素的关系.由条件可得.当时,显然不成立;当时,则,所以,符合条件 的集合对有 1 对;当时,则,所以 A 中的另一个元素从剩下 6 个数中选一个,故符合条件的集合 对有对;当时,则,所以 A 中的另两个元素从剩下 6 个数中选 2 个,故符合条件的集合对有对;当 时,则,矛盾;由对称性,剩下的几种情况类似 ,故符合条件的集合的对数是 对. 17. 【解析】本题考查直线与圆的位置关系.解一:设,则直线 AB 的方程是.因为若直线 AB 与圆相 切,所以,化简得,利用基本不等式得 ,即,从而得 ,当,即 时,的最小值是. 解二:在中,设,则利用面积可得 ,得; 由余弦定理得, ,即 ,解得,即有. 解三:设切点 C 点, ,则 ,即 ,整理得 ,解得,即的最小值是. 18.(1)因为 , 由正弦定理得 ,即 ； 因为,得,所以； 解得. (2)由(1)得,所以= . 因为,所以; 故函数的值域为. 【解析】本题考查三角函数的性质与最值,三角恒等变换,正弦定理.(1)由正弦定理得,所以,解 得.(2)由(1)得,经三角恒等变换得= .因为,所以的值域为. 19.(1)连 AO,因为 平面 ABC,得. 又因为,得平面 PAO,. 因为是 PA 与平面 ABC 的角,. 因为,得. 在中,故有, 从而有,得平面 PAC. (2)过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点,连 PG,则是二面角 PBC A 的平面角. 在中,易知,所以 (2)以 OB、OA、OP 为 x、y、z 轴,建立坐标系,可得 . 可求得平面 ABC 的法向量是,平面 PBC 的法向量是； 所以二面角 PBCA 大小的余弦值是； 即 【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)证得 ,有,得平面 PAC.(2)建立恰当的 空间直角坐标系,求得平面 ABC 的法向量,平面 PBC 的法向量是；所以二面角 PBC A 大 小的余弦值,即 20.(1)因为 , 得,得或, 故可得函数在区间上单调递增,区间是单调递减. 因为 ,所以； 故有上界,即上界的最小值是. (2)因为,故有函数 ； 令,因为,得. 因为在上是以 3 为上界的有界函数,得在上恒成立, 即,得在区间上恒成立. 记, 当时,单调递增,所以; 单调递减, 所以实数的取值范围是. (另解:利用函数 的最值求解. 当时,函数在区间上单调递增, 所以只要,解得,所以; 当时,函数在区间上单调递减,在区间单调递增, 所以只要,解得,所以; 当时,函数在区间上单调递减, 所以只要,解得,所以 综上可知,实数的取值范围是. 【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)求导得,故有上界,即上界的最小值 是.(2) ,换元法,构造函数,求导得 . 21.(1)由题意得,解得; 所以椭圆的方程为. (2) , 因为,所以； 即的取值范围是. (3)设圆 M ,其中, 则 . 由于,则 , 即,代入 , 得 对圆 M 上任意点 N 恒成立. 只要使,即,经检验满足； 故存在符合条件的圆,它的方程是. 【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系. (1)由题意求得,所以椭圆的方程为. (2)求得,因为,所以.(3) 联立方程,套用根与系数的关系,存在符合条件的圆,它的方程是. 22.(1)若数列是常数列,则 ,得； 显然,当时,有. (2)由条件得 ,得. 又因为 , 两式相减得 . 显然有,所以与同号,而,所以； 从而有. (3)因为 , 所以 . 这说明,当时,越来越大,显然不可能满足. 所以要使得对一切整数 n 恒成立,只可能. 下面证明当时,恒成立；用数学归纳法证明: 当时,显然成立; 假设当时成立,即,则当时, 成立. 由上可知对一切正整数 n 恒成立. 因此,正数 m 的最大值是 2. 【解析】本题考查数列求和.(1)若数列是常数列,则,得,.(2)作差证得,从而有.(3)求得 .即对一切整数 n 恒成立,只可 能.用数学归纳法,证得正数 m 的最大值是 2.