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2019-2020年高中数学章末质量评估2新人教A版选修一、选择题(本大题共12小题每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1“是无限不循环小数,所以是无理数”以上推理的大前提是()A实数分为有理数和无理数B不是有理数C无理数都是无限不循环小数D有理数都是有限循环小数解析:演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实,本题中由小前提及结论知选C.答案:C2用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中至少有一个偶数”正确的反设为()Aa,b,c中至少有两个偶数Ba,b,c都是奇数Ca,b,c中至少有两个偶数或都是奇数Da,b,c都是偶数解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”,“a,b,c中至少有一个是偶数”应反设为:a,b,c都是奇数答案:B3某个命题与正整数有关,如果当nk(kN*)时,该命题成立,那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时,该命题不成立,那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立 D当n4时该命题成立解析:依题意,若n4时该命题成立,则n5时该命题成立;而n5时该命题不成立,却无法判断n6时该命题成立还是不成立,故选C.答案:C4下列表述正确的是()归纳推理是由特殊到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;分析法是一种间接证明法;若zC,且|z22i|1,则|z22i|的最小值是3.A BC D解析:归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理,故正确;演绎推理是由一般到特殊的推理,故正确;类比推理是由特殊到特殊的推理,故错误;分析法是一种直接证明法,故错误;|z22i|1表示复平面上的点到(2,2)的距离为1的圆,|z22i|就是圆上的点,到(2,2)的距离的最小值,就是圆心到(2,2)的距离减去半径,即:|2(2)|13,故正确故选D.答案:D5用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析:归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,通项公式为an6n2.答案:C6将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论:abba;(ab)ca(bc);a(bc)abac;由abac(a0)可得bc,则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析:平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故正确,错误;由abac(a0)得a(bc)0,从而bc0或a(bc),故错误答案:B7观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10()A28 B76C123 D199解析:记anbnf(n),则f(3)f(1)f(2)134;f(4)f(2)f(3)347;f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*,n3),则f(6)f(4)f(5)18;f(7)f(5)f(6)29;f(8)f(6)f(7)47;f(9)f(7)f(8)76;f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案:C8数列an满足a1,an11,则a2 014等于()AB1 C2D3解析:a1,an11,a211,a312,a41,a511,a612,an3kan(nN*,kN*)a2 014a13671a1.答案:A9由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A各正三角形内任一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中点D各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心答案:C10已知x0,不等式x2,x3,x4,可推广为xn1,则a的值为()An2BnnC2n D22n2解析:由x2,xx3,xx4,可推广为xn1,故ann.答案:B11命题:在三角形中,顶点与对边中点连线所得三线段交于一点,且分线段长度比为21,类比可得在四面体中,顶点与所对面的_连线所得四线段交于一点,且分线段比为_()A重心31 B重心31C内心21 D外心21解析:由四面体的性质可得结论为A.答案:A12在用数学归纳法证明1aa2an1(a1,nN*)时,在验证当n1时,等式左边为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析:等式左边共n2项,规律是a的指数从0依次增加1直到n1,故n1,最后一项为a2.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分请把正确答案填在题中横线上)13“因为AC,BD是菱形ABCD的对角线,所以AC,BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案:菱形的对角线互相垂直且平分14已知x,yR,且xy2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为_解析:“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y均不大于1”,亦即“x1且y1”答案:x,y均不大于1(或者x1且y1)15观察下列不等式1,1,1,照此规律,第五个不等式为_解析:先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1.答案:116观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图形中有_个小正方形解析:第1个图中有3个小正方形,第2个有336个小正方形,第3个有6410个小正方形,第4个图形有10515个小正方形,第5个图形有15621个小正方形,第6个图形中有21728个小正方形答案:28三、解答题(本大题共6小题,共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交;(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行解析:(1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交结论是正确的,证明如下:设,且a,则必有b,若与不相交,则必有.又,与a矛盾,必有b.(2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)(1)证明:函数f(x)x22x在(,1上是增函数;(2)当x5,2时,f(x)是增函数还是减函数?解析:(1)证明:任取x1,x2(,1,x1x2,则f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)x1x21,x2x120,f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)于是,根据“三段论”可知,f(x)x22x在(,1上是增函数(2)f(x)在(,1上是增函数,而5,2是区间(,1的子区间,f(x)在5,2上是增函数19(本小题满分12分)已知a1a2a3a4100,求证a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.解析:假设a1,a2,a3,a4均不大于25,即a125,a225,a325,a425,则a1a2a3a425252525100,这与已知a1a2a3a4100矛盾,故假设错误所以a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.20(本小题满分12分)已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,记A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:.证明:要证,只需证3,即证明1,所以只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc),即证明c2a2acb2.(*)ABC的三个内角A,B,C成等差数列,B60.由余弦定理,得b2c2a22accos 60.b2c2a2ac.代入(*)式,等式成立c2a2acb2成立,故命题得证21(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213cos217sin 13cos 17;sin215cos215sin 15cos 15;sin218cos212sin 18cos 12;sin2(18)cos248sin(18)cos 48;sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论解析:方法一:(1)选择式,计算如下:sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下:sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二:(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下:sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.22(本小题满分13分)设f(n)1,是否有关于自然数n的函数g(n),使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1对n2的一切自然数都成立?并证明你的结论解析:当n2时,f(1)g(2)f(2)1,得g(2)2.当n3时,f(1)f(2)g(3)f(3)1,得g(3)3.猜想g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)f(2)f(n1)nf(n1)恒成立(1)当n2时,由上面计算知,等式成立(2)假设nk时等式成立,即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2),那么,当nk1时,f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1,故当nk1时等式也成立由(1)(2)知,对一切n2的自然数n,等式都成立故存在函数g(n)n使等式成立
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