2019-2020年高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.1随机抽样学案理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.1随机抽样学案理知识梳理1简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法2系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本先将总体的N个个体编号；确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k；当不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k；在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)；按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号1k，再加k得到第3个个体编号12k，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样注：三种抽样方法的比较诊断自测1概念思辨(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P64A组T3)某单位有职工140人，其中科技人员91人，行政干部28人，职员21人，为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本以下抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是()将140人从1140编号，然后制出有编号1140的140个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌，并从中抽取20个号签，编号与签号相同的20人选出将140个人分成20组，每组7个人，并将每组7人按17编号，在第一组中采用抽签的方法抽出K号(1K7)，则其余各组K号也被抽到，20个人被选出按2014017的比例，从科技人员中抽取13人，从行政人员中抽取4人，从职员中抽取3人，从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出20人A B C D答案C解析从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手故选C.(2)(必修A3P64A组T4)某初级中学有270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将按一、二、三年级依次统一编号为1,2，270；使用系统抽样时，将统一随机编号1,2，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270.下列关于上述样本的结论正确的是()A都不能为系统抽样 B都不能为分层抽样C都可能为系统抽样 D都可能为分层抽样答案D解析从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级应按433的比例进行抽取，即1108号抽取4人，109189号抽取3人，190270号应抽取3人故选D.3小题热身(1)(xx全国卷)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A简单随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样答案C解析该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别不大，故不适合按性别分层抽样故选C.(2)(xx长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为：1,2,3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_答案17解析根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.题型1简单随机抽样下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛A0 B1 C2 D3应用简单随机抽样的定义进行判断答案A解析不是简单随机抽样因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样因为它是有放回抽样；不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；不是简单随机抽样因为不是等可能抽样，故选A.(xx河北模拟)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A08 B07 C02 D01随机数法答案D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.方法技巧1简单随机抽样的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样2抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法(3)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去冲关针对训练利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A. B. C. D.答案C解析根据题意，解得n28.故每个个体被抽到的概率为.故选C.题型2系统抽样(xx徐州模拟)从编号为0,1,2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为()A8 B10 C12 D16确定分段间隔，再利用间隔不变解题答案B解析从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为4216210，故选B.条件探究1把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求ab.解由典例中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a26，b58，故ab84.条件探究2把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”，则抽到的最小编号是多少？解利用等差数列前n项和公式S55a116185，得a15.方法技巧系统抽样的注意点1系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大2若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔故问题可转化为等差数列问题解决3抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变4如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法冲关针对训练(xx广东肇庆模拟)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与mk的个位数字相同若m6，则在第7组中抽取的号码是()A63 B64 C65 D66答案A解析由题设知，若m6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.题型3分层抽样(xx北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90 B100 C180 D300根据抽样比列方程答案C解析设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x180.故选C.(xx西安摸底考试)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()A800 B1000 C1200 D1500答案C解析因为a，b，c成等差数列，所以2bac.所以.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为36001200.故选C.方法技巧分层抽样问题类型及解题思路1求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算2已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算3分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比”提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取nin(i1,2，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)冲关针对训练(xx广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A200,20 B100,20 C200,10 D100,10答案A解析由题意可得该地区共有中小学生10000人，故样本容量为100002%200，由分层抽样知应抽取高中学生的人数为20040，其中近视人数为4050%20，故选A.1.(xx湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp1p3p2 Dp1p2p3答案D解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.2(xx江西八校联考)从编号为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为 ()A480 B481 C482 D483答案C解析根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a17，a232，d25，所以725(n1)500，所以n20，最大编号为72519482.故选C.3(xx大连调研)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()A11 B12 C13 D14答案B解析由系统抽样定义可知，所分组距为20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间481,720的数目为(720480)2012.故选B.4(xx江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件答案18解析，应从丙种型号的产品中抽取30018(件) 基础送分 提速狂刷练一、选择题1在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本答案A解析5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.2将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，若第一组编号为000,001,002，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为()A700 B669 C695 D676答案C解析由题意可知，第一组随机抽取的编号l15，分段间隔k20，故抽取的第35个编号为15(351)20695.故选C.3某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本若从编号为1,2,3，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A13 B17 C19 D23答案D解析因为第一组的编号为1,2,3，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.故选D.4从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，500进行编号如果从随机数表的第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是()附：随机数表第6行至第8行各数如下：A217 B245 C421 D206答案D解析产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合条件的号码为157,245,206，故第4个个体编号为206.故选D.5采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A7 B9 C10 D15答案C解析由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为30，抽取的号码依次为9,39,69，939.落入区间451,750的有459,489，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729459(n1)30，解得n10.所以做问卷B的有10人故选C.6(xx朝阳质检)某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件，且它们的数量成等比数列，现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件，则甲类产品有()A100件 B200件 C300件 D400件答案B解析设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a1，a2，a3，a4件进行检测，由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样，所以a1，a2，a3，a4也成等比数列，设此等比数列的公比为q，由即解得即从甲类产品中抽取10件，则甲类产品的数量为200(件)，故选B.7福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23 B09 C02 D17答案C解析从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.8(xx包头检测)将参加夏令营的600名学生按001,002，600进行编号采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为 ()A26,16,8 B25,17,8 C25,16,9 D24,17,9答案B解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1)令312(k1)300，得k，因此第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495，得k42，因此第营区被抽中的人数是422517；第营区被抽中的人数为5025178.故选B.9某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的方法是()A简单随机抽样B系统抽样C分层抽样D先从老年人中剔除1人，再用分层抽样答案D解析因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样因为总人数为285481163，样本容量为36，由于按抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取276(人)，中年人应抽取5412(人)，青年人应抽取8118(人)，从而组成容量为36的样本故选D.10(xx山西阳泉调研)学校高中部共有学生xx名，高中部各年级男、女生人数如表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为()高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A14 B15 C16 D17答案B解析由已知高三女生数xxx0.18360.故高三年级总共有360340700(人)而高一年级共有373327700(人)所以高二年级共有xx700700600(人)设高二年级应抽取的学生数为n，则由分层抽样的特点知，解得n15.故选B.二、填空题11(xx郑州期末)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为_答案1211解析由系统抽样，抽样间隔k20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，则a611160201211，故第61组抽取号码为1211.12(xx浙江五校模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是_份答案60解析由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，则，a2200.又a1a2a3a41000，即3a2a41000，a4400.设在D单位抽取的问卷数为n，解得n60.13某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为_小时答案501015解析第一分厂应抽取的件数为10050%50；该产品的平均使用寿命为10200.59800.210300.31015.14(xx临沂期末)某地区有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户，在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是_答案5.7%解析99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有990005000(户)，1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有1000700(户)，故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为100%5.7%.三、解答题15某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解总体容量为6121836.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程师人数为6(人)，技术员人数为12(人)，技工人数为18(人)，所以n应是6的倍数，36的约数，即n6,12,18.当样本容量为(n1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n6.16某单位有xx名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200共计1603204801040xx(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？解(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为.故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为，故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人(3)用系统抽样，对全部xx人随机编号，号码从0001xx，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，1900，共20人组成一个样本