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2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数优化训练苏教版必修5分钟训练 (预习类训练,可用于课前)1.求下列幂函数的定义域:y=x3,y=,y=,y=x -2,y=,y=x0.思路解析:幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合.解:y=x3定义域是R;y=的定义域是R;y=的定义域是0,+;y=x-2=的定义域是(-,0)(0,+);y=的定义域是(0,+);y=x0的定义域是(-,0)(0,+).2.比较下列各题中两个值的大小:(1),;(2),.思路解析:对于第(1)题,当n0时,幂函数y=xn有下列性质:在第一象限内,函数值y随x的增大而增大.对于第(2)题,当n0时,幂函数y=xn有下列性质:在第一象限内的图象是下降的,即函数值y随x的增大而减小.解:(1),是幂函数y=的两个函数值,考察函数y=.在(0,+)上,y随x值的增大而增大.1.51.7,1.8,2.答案:B4.比较下列各组中两个值的大小:(1)0.61.3与0.71.3; (2)与; (3)0.18-0.3与0.15-0.3.解:(1)0.61.3与0.71.3可看作幂函数y=x1.3在0.6与0.7处的函数值,且1.30,0.60.7, 由幂函数单调性知0.61.3.(3)0.18-0.3与0.15-0.3可看作幂函数y=x-0.3在0.18与0.15处的函数值,且-0.30,0.180.15,由幂函数单调性知0.18-0.30.15-0.3.5.讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.解:函数y=是幂函数.要使y=有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.xR,x20.y0.即值域为0,+).又f(-x)=f(x),函数y=是偶函数.n=0,幂函数y=在0,+)上单调递增.由于幂函数y=是偶函数,幂函数y=在(-,0)上单调递减.(5)其图象如图所示.快乐时光代 词 语法课上,约翰的思想开了小差. 突然老师问道:“约翰,你能说出两个代词吗?” 约翰站起来,摇摇头说:“谁?我!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.下列函数中不是幂函数的是( )A.y= B.y=x3 C.y=2x D.y=x-1思路解析:根据幂函数的定义:形如y=x的函数称为幂函数,可知C不是幂函数.答案:C2.下列命题正确的是( )A.当=0时,函数y=x的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x的图象关于原点对称,则y=x在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限思路解析:当=0时,函数y=x定义域为x|x0,xR,其图象为两条射线,故A不正确;当,求x的取值范围.思路解析:借助幂函数的图象,可使问题简捷易解.解:y=的图象在第一、二象限,y=的图象在第一、三象限.01,0 恒成立.当图象在第一象限时,若x(0,1),y=的图象在y=图象的下方,则.所求x的取值范围是(-,0)(1,+).6.若(a1(3-2a,试求a的取值范围.思路解析:根据幂函数的性质求解.解:有三种可能情况:解得a(-,-1)(,).7.幂函数y=f(x)的图象过点(4, ),求f(8)的值.思路解析:求幂函数的解析式一般可采用待定系数法.要想求得f(8)的值,必须要先求得幂函数的解析式.解:设f(x)=xa,则 =4a,a=-.f(x)=,f(8)=.8.求满足的字母a的取值范围.思路解析:根据已知条件可知,分别为对应幂函数y=,y=.要想求满足条件a的范围.只要判断出x为何值时曲线y=在曲线y=上方即可.解:在同一坐标系中,分别作出y1=,y2=的图象,由图象可知要使y1y2,只需x1.当a1时不等式恒成立.9.如图,幂函数y=(mZ)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.思路解析:由于图象关于y轴对称,所以此函数为偶函数且与x轴、y轴无交点,所以是双曲线型.解:由题意,得m2-2m-30,-1m3.mZ,m=0,1或2.幂函数的图象关于y轴对称,m2-2m-3为偶数.当m=0或2时,m2-2m-3为-3,当m=1时,m2-2m-3为偶数-4,y=x-4.10.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(tZ)是偶函数且在(0,+)上为增函数,求实数t的值.思路分析:关于幂函数y=xn(nQ,n0)的奇偶性问题,设 (|p|、|q|互质),当q为偶数时,p必为奇数.y=xn是非奇非偶函数;当q是奇数时,y=xn的奇偶性与p的奇偶性对应.解:f(x)是幂函数,t3-t+1=1.t=-1,1或0.当t=0时f(x)=是奇函数;当t=-1时f(x)= 是偶函数;当t=1时f(x)=是偶函数;且,都大于0,在(0,+)上为增函数.故t=1且f(x)= 或t=-1且f(x)=.
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