2019-2020年高中数学推理与证明板块一合情推理与演绎推理完整讲义（学生版）.doc

2019-2020年高中数学推理与证明板块一合情推理与演绎推理完整讲义（学生版）典例分析题型一：合情推理【例1】 迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）A1643 B1679 C1681 D1697【例2】 下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量A的性质|A|2=A2类比得到复数z的性质|z|2=z2；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 【例3】 定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.【例4】 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)(C) (D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD2【例5】 已知 ，猜想的表达式为 ( )A. B. C. D.【例6】 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中x,y,z的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.【例7】 观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中,第100项是( )（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100【例8】 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）A、 B、2 C、3 D、4【例9】 平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）A、 B、 C、 D、【例10】 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为 （ ）A25 B6 C7 D8 【例11】 如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ） A. B. C. D. OxABFy【例12】 观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A、 B、C、 D、【例13】 公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。 【例14】 考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_.【例15】 如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； .【例16】 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。【例17】 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.【例18】 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)图1图2图3图4【例19】 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .【例20】 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。【例21】 依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。【例22】 在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.【例23】 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【例24】 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。【例25】 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _=（ * ）并给出（ * ）式的证明。【例26】 观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。【例27】 在ABC中，若C=90，AC=b,BC=A，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。【例28】 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。【例29】 二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。【例30】 圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。【例31】 已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。【例32】 观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（）求第六行的第一个数（）求第20行的第一个数（）求第20行的所有数的和【例33】 （xx年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.【例34】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【例35】 已知椭圆具有性质：若是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明【例36】 已知数列(为正整数)的首项为，公比为的等比数列求和：；由的结果，概括出关于正整数的一个结论，并加以证明题型二：演绎推理【例37】 由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等(C) 正方形是平行四边形 (D)其它【例38】 下列表述正确的是（ ）。归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理。（A）；（B）；（C）；（D）。【例39】 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）。A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例40】 （4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）。A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例41】 小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。小王说：“我肯定考上重点大学。”小刘说：“重点大学我是考不上了。”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上【例42】 已知直线l、m，平面、，且l，m ，给出下列四个命题：（1）若，则lm； （2）若lm，则；（3）若，则lm； （4）若lm，则；其中正确命题的个数是（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【例43】 给出下列三个命题：若；若正整数满足，则；设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。其中假命题的个数是（ ）（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3【例44】 给定集合A、B，定义，若A=4,5,6,B=1,2,3,则集合中的所有元素之和为 （ ）A.15 B.14 C.27 D.-14【例45】 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例46】 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）A B C D【例47】 下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D、在数列中，由此推出的通项公式【例48】 设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .【例49】 函数yf（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .【例50】 在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。【例51】 “AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。【例52】 由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。【例53】 已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式【例54】 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。【例55】 如图，S为ABC所在平面外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC。求证：ABBC。【例56】 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.直线BD和平面ABD的位置关系是平行【例57】 设二次函数f(x)=Ax2+bx+c (A,b,cR,A0)满足条件：当xR时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；当x(0,2)时，f(x)f(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x.【例58】 规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广求的值；组合数的两个性质()是否都能推广到(是正整数)的情形？说明理由；已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，【例59】 指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5与2可以比较大小； （2）直线。【例60】 已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。【例61】 已知、是锐角，且满足。（1）求证：；（2）求证：，并求等号成立时的值。