2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评A 新人教A版选修2-1.doc

2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评A 新人教A版选修2-1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在四面体ABCD中,已知=b,=a,=c,则等于()A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.a-b+c解析:)=-a+b+c .答案:A2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上均错解析:因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以ac.又ab=-22+(-3)0+14=0,所以ab.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则cos的值等于()A.B.C.D.解析:设正方体棱长为1,则|=,|=,而=()=|2+|2+=1+0+0-+0+0=.故cos=.答案:B4.已知平面和平面的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.B.C.与相交但不垂直D.以上都不对解析:n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),n=-2m.mn.与平行.答案:B5.已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是()A.B.C.D.解析:建立如图所示的直角坐标系.设矩形ABCD的长、宽分别为a,b,PA长为c,则A(0,0,0),B(b,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),P(0,0,c).则=(b,a,-c),=(-b,a,0),=(0,-a,0),=(b,0,-c),=(0,a,-c),=(b,0,0),=(0,0,-c),=(-b,0,0).=-b2+a2不一定为0.=0,=0,=0.答案:A6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于()A.5B.6C.4D.8解析:设=a,=b,=c,则=a+b+c,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=25,因此|=5.答案:A7.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A.-B.-C.D.解析:如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则=(-1,1,0),若异面直线DE与AC所成的角为,cos =|cos|=.答案:D8.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4D.8解析:|a|=3,|b|=3,而ab=4=|a|b|cos,cos=,故sin=,于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=|a|b|sin=33.答案:A9.如图,ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PDAD,|PD|=|AD|=2,二面角P-AD-C为60,则点P到AB的距离为()A.2B.C.2D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则点A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,1,),=(-2,1,),=(0,2,0),则=1,所以P到AB的距离d=.答案:D10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.令x=1,则n=(1,-1,-1),cos=.直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.答案:C第卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,则x=.解析:c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由题意得02+04+(1-x)2=-2,解得x=2.答案:212.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.(用a,b,c表示)解析:)=a+b+c.答案:a+b+c13.若平面的一个法向量为n=(3,3,0),直线l的一个方向向量为b=(1,1,1),则l与所成角的余弦值为.解析:cos=,l与所成角的余弦值为.答案:14.如图,AB=AC=BD=1,AB平面M,AC平面M,BDAB,BD与平面M成30角,则C,D间的距离等于.解析:|2=|2=|2+|2+|2+2+2+2=1+1+1+0+0+211cos 120=2.故|=.答案:15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和的值为.解析:以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),=(x-1,0,1),=(1,1,y).B1E平面ABF,=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得b,此时E点坐标为E.17.(6分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.求证:(1)ACBC1;(2)AC1平面CDB1.证明:直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,且C1C垂直底面.AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D.(1)=(-3,0,0),=(0,-4,4),=0,ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),=(-3,0,4),.DEAC1.DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面CDB1.18.(6分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解:(1)如图,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,则.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为,则sin =,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2),n=(2,0,1),点P到平面DEF的距离d=.19.(7分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.解:(1)连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E.AA1BB1,OEBB1.A1O平面ABC,A1OBC.AB=AC,OB=OC,AOBC.BC平面AA1O,BCOE.OE平面BB1C1C.又AO=1,AA1=,AE=.(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),B1(-1,2,2).由,得点E的坐标是.由(1)得平面BB1C1C的法向量是.设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z),由令y=1,得x=2,z=-1,得n=(2,1,-1).所以cos=,即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.