2019-2020年高中数学等差数列连堂讲稿新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学等差数列连堂讲稿新人教A版必修5激趣诱思 提起哈雷，人们都不会感到陌生，因为彗星中的佼佼者哈雷彗星就是以他的名字命名的。1695年，皇家学会书记官的哈雷开始研究彗星。他从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星，用一年时间计算了它们的轨道。发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来很相似。他认为这三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归。但哈雷没有立即下此结论，而是不厌其烦地向前搜索，发现1456年、1378年、1301年、1245年，一直到1066年，历史上都有大彗星的记录。哈雷在1705年发表了彗星天文学论说，宣布1682年曾引起世人极大恐慌的大彗星将于1758年再次出现于天空。1759年3月14日哈雷彗星过近日点。此时，哈雷已长眠地下十几年了。利学家的生命是有限的，但他们对科学的贡献却永世长存。观察这些年份有什么特点呢？新知预习 1.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数.我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示.2.等差数列的通项公式为，为首项，为公差3.当时，等差数列是递增数列；当时，的等差数列是常数数列；当时，等差数列是递减数列.4.如果在a与b之间插入一个数A，使得a、A、b组成的等差数列，那么A就叫做a与b的等差中项，其中。【互动课堂】自主探究自我检测一、概念辨析等差数列与一次函数的异同不同点图象相似点等差数列an=pn+qpR，n，p是公差一些孤立的点p0时，数列an=pn+q图象所表示的点均匀分布在函数y=px+q的图象上。p0时，数列为递增数列，函数为增函数；p0时，数列为递减数列，函数为减函数一次函数y=px+qp0，xR，p是斜率一条直线二、疑点详释1.如何利用等差数列的定义证明一个数列是等差数列？由等差数列的定义可得等差数列的递推公式：（或者为常数利用这个公式可证明一个数列是等差数列。2.等差数列的有哪些常见的变形公式？给出等差数列的任意两项，可得，。通过对等差数列的通项公式进行适当变形可得。结合等差中项公式可知若且，则若且，则上述公式在解题中经常应用，我们需要熟记。三、拓展引申等差数列的派生数列若数列是公差为的等差数列，数列是常数）是公差为的等差数列抽取下标成等差数列且公差为的项）组成的新数列为公差为的等差数列特殊的，一个等差数列的奇数项，偶数项，构成的新数列依然为等差数列若数列也为等差数列，则也成等差数列1.等差数列的前4项依次是a1,a+1,2a+3,2b3,则a、b的值为( )A.1,2B.1,4C.0,4D.2,2解析：方法1：依题意可知解得方法2：由可得d=2，再利用通项公式可得的值.方法3：采用特殊值代入法求解.答案：C2.设an=(n+1)2，bn=n2n(n)，则下列命题中不正确的是( )A.an+1an是等差数列B.bn+1bn是等差数列C.anbn是等差数列D.an+bn是等差数列解析：要证明数列是等差数列，只需证明即可.显然D不具备该形式.答案：D3.在等差数列an中，a3+a12=60，a6+a7+a8=75，则其通项公式为( )A.an=10n+45B.an=6n24C.an=10n45D.an=6n+24解析：又.答案：C4.若a,x1,x2,x3,b与a,y1,y2,y3,y4,y5,b均为等差数列，则=_.解析：成等差数列，其公差.又成等差数列，其公差.答案：5.集合M=mm=9n,n且100m500的元素个数为_.解析：即共44个值.答案：44重难点拨触类旁通一、等差数列的定义例1已知数列的通项公式为，其中为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？思路分析：证明是否为等差数列，可用等差数列的定义，证明是否为与无关的同一常数。解：取数列中的任意相邻两项与，可得。p为与无关的常数，所以是等差数列。点拨提示：依据等差数列的定义证明某个数列是等差数列时必须是从第2项起，满足才能说明是等差数列在填空、选择题中如果数列的通项公式是是常数），即关于n的一次式，也可直接判断数列是等差数列.二、等差数列的通项公式例2 在等差数列中，求首项与公差.思路分析：要求与，结合已知条件利用通项公式，恰好可以得到一个以和为未知数的二元一次方程组，解之可得.也可利用公式求得d，进而得到。解：方法1：由题意可知：得，.再将代入，得.即这个等差数列的首项是2,公差是3.方法2：，点拨提示：若已知等差数列的两项，可构建由首项及公差组成的方程（组）求解。即已知两项就可以确定这个等差数列.三、等差数列的函数特性例3 若数列为等差数列，则为（） 思路分析：本题可用等差数列的性质求解或利用等差数列当时数列上的点落在一次函数的图象上利用一次函数函数特点求解答案：解法：，应选B解法2：不防设，由于等差数列中，关于的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点共线设，由已知得三点共线由，得，应选B点拨提示：等差数列图像上的点落在一次函数的图像上，我们可用一次函数的性质来解决等差数列问题。四、等差中项例4 已知三个正数满足成等差数列，求证：成等差数列. 思路分析：要证三数成等差数列 ，可以证明中间一项是另两项的等差中项.证明：因为成等差数列，所以，代入上式，得所以成等差数列.点拨提示：等差中项性质常用来证明一个数列为等差数列的问题，一般用在难以用等差数列的定义证明的问题上。11 判断下列数列是否为等差数列。(1)数列满足，且(2)数列为等差数列，首项为，公差为d，取下标为3n+1的项组成的新数列解：由可得，可以看出该数列从第项起,符合等差数列的定义验证，但的取值不确定，所以分类讨论如下:(i)当时，数列是等差数列；(ii)当时，数列不是等差数列由题意数列通项公式为，所以由等差数列的定义可知：，而3d为常数，所以数列为等差数列1-2 在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则 .解析：点在直线上，即数列是首项为，公差为的等差数列.数列的通项公式为，.答案：.2-1 数列的各项的倒数组成一个等差数列，若，求解：成等差数列，设其公差为，首项为，然后由通项公式即得和，代入通项公式可求设等差数列为，公差为由已知得，解得2-2 泰山是著名的旅游景点，泰山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ，已知山顶处的温度是14.8 ，山脚处的温度为26 ，问泰山相对于山脚处的高度是多少？分析：设山脚处的温度为a1=26，此后每升高100米处的温度依次为a2,a3,，这是一个等差数列，公差d=0.7.解：每升高100米温度降低0.7 ,泰山的温度的变化为等差数列问题.不妨设山脚处的温度为首项a1=26，山顶温度为末项an=14.8,26+(n1)(0.7)=14.8.解之可得n=17.故此山的高度为(171)100=1600(米).3-1等差数列中，已知，求.解法1:设公差为，则，即.解法2: 是关于的一次函数，其图像是直线上的点.点，共线，即，.4-1已知a,b,c,d四数依次成等差数列，且，求a,b,c,d.解析：将a,b,c,d表示为，由题意知即 ，当x=，d=时，四个数依次为,2,5,8；当x=，d=时，依次为8,5,2, ; 当x=，d=时，四个数依次为-8,-5,-2,1;当x=，d=时，四个数依次为1,-2,-5,-8.4-2在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8的值.解析：解法1：a3+a4+a5+a6+a7=450,(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)+(a1+6d)=450,即a1+4d=90.a2+a8=(a1+d)+(a1+7d)=2(a1+4d)=180.解法2：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=2a5+2a5+a5=5a5=450，a5=90.a2+a8=2a5=290=180.思悟升华 1.研究等差数列的通项公式的问题，注意利用基本量（首项和公差）和方程（组）的思想。已知数列的两项便可建立方程组确定数列的通项公式.2.等差数列的常见公式和性质要熟练记忆和综合应用，培养自己熟悉公式，应用公式的能力，应用数列的公式和性质解题比应用基本量解题更为简洁。3.等差数列的证明方法有两种：1.定义法，利用从第2项起，满足来证明数列为等差数列。2.等差中项法：利用从第2项起，满足也可来证明。4.等差数列的图像为离散的点，落在一次函数或者常数函数的图像上。我们可以借助一次函数图像的性质来解决等差数列的有些问题。【演练提升】夯基达标1.在数列中，则等于（ ）A B10 C13 D19解析：由得，是等差数列.答案：C 。2.已知等差数列的公差为d,若,且c为常数,则数列是( )A公差为d的等差数列 B公差为cd的等差数列C不是等差数列 D不能判断解析：因为，所以，所以数列为公差为cd的等差数列。答案：3.等差数列的首项为，第10项为开始比1大的项，则公差d的取值范围为 A.dB.d C.d D.d解析：依题意答案：B4.在等差数列中，已知，则解析：解法：根据题意，有，则解法：根据等差数列的性质，可得答案：18 5在等差数列中，则等于（）.A.36B.38C.39D.42解析：由，得，则答案：A6数列中，若，则（）A.13B.C.11D. 解析：由已知可得，则，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，故，所以.答案：D 。能力提升7.下列命题中正确的是A.若an成等差数列，则an也成等差数列B.若an成等差数列，则an2也成等差数列C.若存在自然数n，使得2an+1=an+an+2,则an一定是等差数列D.若an是等差数列，则2an+1=an+an+2对一切n成立解析：根据等差数列的定义可知当公差为负时，A、B是错误的，而C显然，少了验证第一、二项，是否满足定义，D正确。答案：D8. 下表给出一个“等差矩阵”:47（ ）（ ）（ ）a1j712（ ）（ ）（ ）a2j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a3j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数，那么的值是（）A.45B.54C.48D.49解析：该等差数列第一行是首项为4，公差为3的等差数列：.第二行是首项为7，公差为5的等差数列：.第行是首项为，公差为的等差数列.因此，故答案：D 。9.设数列为公差不为的等差数列且,，则解析：因为公差不为，且，所以所以可得即再根据，可得所以可得，所以答案：10.若成等差数列，则的值为解析：，所以可得即解之得（舍），所以。答案：