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-1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,齐次方程组解的存在性定理,(4-3),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-7-,对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(2),A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 必有非零解。,-8-,有非零解,(4-4),学习书P.135 例2,-9-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-10-,4.2 齐次线性方程组解的结构,(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?,(1) 解集的特点?,称：,-11-,性质1：若 是 的解，,性质2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。,性质,而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题(1),-12-,线性无关；,的任一解都可以由,线性,基础解系,表示,则称,下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。,( 取任意实数),从而,也是(4-3)的解。,-13-,通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答所提问题.,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B,从行最简形能得到什么？,-14-,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,-15-,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数 = ?,第四步:写出基础解系,再来分析一下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,-16-,就是,类似的,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的, 从而也是基础解系.由此得到解法2.,-17-,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:写出通解,-18-,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,则齐次线性方程组,的任意 个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,解空间的维数是 dim(N(A)=n - r(A).,-19-,且线性无关，则_是AX=O的基础解系。,(2),(3),则_可为AX=O的基础解系。,(4),练习,(1),(2),作业:P142 1;3,-20-,设 ,证明,证,因此,移项,重要结论,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-22-,4.3 非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,-23-,性质,(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),-24-,设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为,解,-25-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,即得方程组的一个解,作业:P147 1(1);2;3,-26-,有无穷多解？,唯一解？,无解？,有无穷多解时求其通解？,解,即,练习,-27-,其通解为,自学:P145 例3,例4,例5,-28-,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解.,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,-29-,证明,设 , 首先证明,利用这一结论,证,-30-,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,
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