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第五章 数 列,5.1 数列的概念与简单表示 5.2 等差数列及其前n项和 5.3 等比数列及其前n项和 5.4 数列求和 5.5 数列模型的应用 5.6 数列综合性问题,5.1 数列的概念与简单表示,1.数列的概念 按照 排列着的一列数称为数列，一般用 表示.,一定顺序,2.数列的分类,有限,无限,=,正整数集N*(或N*的有限子集1,2,3,，n),函数值,解析法,图象法,列表法,序号n,由数列前几项求数列通项,1.由所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： （1）分式中分子、分母的特征； （2）相邻项的变化特征； （3）拆项后的特征； （4）各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.,2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整. 3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决.,由递推公式求数列通项公式,【变式训练】2.已知下面数列an的递推关系和前n项和Sn，求an的通项公式： (1)Sn3nb； （2）a11，an13an2，求an.,【解析】(1) a1S13b， 当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 当b1时，a1适合此等式.当b1时，a1不适合此等式. 当b1时，an23n1； 当b1时，an 3b，n1， 23n1，n2.,数列的性质研究,1.数列的概念及简单表示 数列中的数是有序的,要注意辨析数列的项和数集中元素的异同;数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解.数列an可以看成是以正整数集N*（或N*的有限子集1,2,3，n）为定义域的函数an=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.,2.由数列的前几项归纳出其通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项符号特征和绝对值特征，并对此进行归纳、化归、联想.,通过对近三年高考试题的统计分析可以看出,本节主要考查数列的项、项数、求通项公式、an与Sn的关系.由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列或与函数的周期性等有关的问题.,(2013全国新课标卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为 .,【规范解答】由题意及等差数列的性质， 知a1a100，a1a15 . 两式相减，得a15a10 5d，所以d ，a13. 所以nSnnna1 d . 令f(x) ，x0， 则f(x) x(3x20)，由函数的单调性，可知函数f(x)在x 时取得最小值，检验n6时，6S648，而n7时，7S749，故nSn的最小值为49.,【阅后报告】本题求出的nSn的表达式可以看作是一个定义在正整数集N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解.,3.(2014全国新课标卷)数列an满足an1 ，a82，则a1 . 【解析】由题易知a8 2，得a7 ； a7 ，得a61； a6 1，得a52， 于是可知数列an具有周期性，且周期为3，所以a1a7 . 【答案】,课 时 作 业,5.2 等差数列及其前n项和,2,同一个常数,公差,A,2.在等差数列an中，已知a47，a3a616，an31，则n为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】由已知可得a4a57a5a3a616，得a51679，故公差da5a4972，同时解得a11，由1(n1)231，解得n16. 【答案】D,3.(2014荆州高三调研)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S1060，则S20( ) A.80 B.160 C.320 D.640,4.(2014武汉高三联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是 . 【解析】a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20. 【答案】20,等差数列的判断与证明,等差数列的基本运算,等差数列的性质及应用,【变式训练】3.在数列an中，a11,3anan1anan10(n2). (1)证明数列 是等差数列； (2)求数列an的通项； (3)若an 对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围.,【解析】(1)证明:将3anan1anan10(n2)整理得 3(n2). 所以数列 为以1为首项，3为公差的等差数列. (2)由(1)可得 13(n1)3n2，所以an13n2. (3)若an 对n2的整数恒成立， 即3n23n1对n2的整数恒成立, 整理得(3n1)(3n2)/3(n1).,【规范解答】(1)由题意得，a15a3(2a22)2， 由a110，an为公差为d的等差数列得， d23d40，解得d1或d4. 所以ann11(nN*)或an4n6(nN*). (2)设数列an的前n项和为Sn. 因为d0，由(1)得d1，ann11，,所以当n11时， |a1|a2|a3|an|Sn n2 n； 当n12时， |a1|a2|a3|an|Sn2S11 n2 n110. 综上所述， |a1|a2|a3|an| n2 n，n11， n2 n110，n12.,【阅后报告】(1)不能盲目认为|a1|，|a2|，|an|是等差数列，要分段研究. (2)当n11时，是求Sn，而不是求S11. (3)讨论n11和n12后，要有总结结论.,1.(2014辽宁卷)设等差数列an的公差为d，若数列 为递减数列，则( ) A.d0 B.d0 C.a1d0 D.a1d0 【解析】令 bn=2a1an，因为数列 为递减数列， 所以 1，所以a1d0. 【答案】D,2.(2014北京卷)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a7a10a8a90，a90，n8时，数列an的前n项和最大. 【答案】8,3.(2014湖北卷)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.,【解析】(1)设数列an的公差为d， 依题意得，2，2d，24d成等比数列， 故有(2d)22(24d)， 化简得d24d0，解得d0或d4. 当d0时，an2； 当d4时，an2(n1)44n2. 从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.,课 时 作 业,5.3 等比数列及其前n项和,第2项,前一项,同一个,公比,q,等比数列,ab,等比,3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3=( ) A.12 B.23 C.34 D.13 【解析】由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S61/2S3代入得S9/S33/4. 【答案】C,等比数列的判定与证明,(3)假设存在，则mn2s，(am1)(an1)(as1)2， 因为an ，所以 化简，得3m3n23s. 因为3m3n 23s，当且仅当mn时等号成立.又m，s，n互不相等，所以3m3n23s不成立，所以不存在满足条件的m，n，s.,等比数列的基本运算,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用.在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.,【变式训练】2.已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设TnSn (nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5， 即4a5a3，于是q2a5a3 . 又an不是递减数列且a1 ，所以q . 故等比数列an的通项公式为 an n1(1)n1 . (2)由(1)得Sn1 1 ，n为奇数， 1 ，n为偶数.,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn S2 . 综上，对于nN*，总有 Sn . 所以数列Tn最大项的值为 ，最小项的值为 .,(2013湖北卷)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125. (1)求数列an的通项公式； (2)是否存在正整数m，使得 1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.,【规范解答】(1)设等比数列an的公比为q， 则由已知可得 a31q3125，解得 a1 ， |a1qa1q2|10， q3 或 a15， q1. 故an 3n1或an5(1)n1. (2)若an 3n1，则 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列.,从而 1. 若an5(1)n1，则 (1)n1， 故1an是首项为15，公比为1的等比数列， 从而 ，n2k1(kN*)， 0，n2k(kN*)， 故 1. 综上，对任何正整数m，总有 1. 故不存在正整数m，使得 1成立.,【阅后报告】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.,3.(2014全国新课标卷) 已知数列an满足a11， an13an1. (1)证明 是等比数列，并求an的通项公式； (2)证明 .,【解析】(1)由an13an1得an1 3(an ). 又a1 ，所以an 是首项为 ，公比为3的等比数列，所以an ，因此数列an的通项公式为an . (2)证明：由(1)知 . 因为当n1时，3n123n1， 所以 ，即 . 于是 1 13n32. 所以 .,课 时 作 业,5.4 数列求和,【解析】f(x)mxm1a2x1， m2，a1. f(x)x2x，f(n)n2n. Sn 【答案】,分组转化求和,(2014湖州质检)在等比数列an中，已知a13，公比q1，等差数列bn满足b1a1，b4a2，b13a3. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d. 由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d， 故 3q33d， q1d， 3q2312d q214d q3或1(舍去). 所以d2，所以an3n，bn2n1.,(2)由题意，得cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n， Snc1c2cn (35)(79)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n. 当n为偶数时，Snn ； 当n为奇数时，Sn(n1)(2n1) . 所以Sn ，n为偶数， ，n为奇数.,错位相减法求和,(2014武汉高三调研)已知正项数列an，其前n项和Sn满足6Sna2n3an2，且a1，a2，a6是等比数列bn的前三项. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)记Tna1bna2bn1anb1，nN*，证明：3Tn12bn1an1(nN*).,裂项相消法求和,【阅后报告】(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,1.(2013全国新课标卷)设首项为1，公比为 的等比数列an的前n项和为Sn，则( ) A.Sn2an1 B.Sn3an2 C.Sn43an D.Sn32an,2.(2013辽宁卷)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6 . 【解析】因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S6（126）/(12)63. 【答案】63,【解析】(1)因为S1a1，S22a1 22a12， S44a1 24a112， 由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1. (2)由题意可知， bn(1)n1 (1)n1 (1)n1 .,当n为偶数时， Tn(1 )( )( )( )1 = . 当n为奇数时， Tn(1 )( )( )+( )1 = . 所以Tn ，n为奇数， ，n为偶数.(或Tn ),课 时 作 业,5.5 数列模型的应用,1.数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤,可用图表示如下:,2.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为 元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天,【解析】由第n天的维修保养费为 元（nN*），可知每天的维修保养费构成以 =5为首项， 为公差的等差数列. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时取得最小值，此时n800. 【答案】B,4.(2014成都一模)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n .,【解析】设每节竹竿的长度对应的数列为an，公差为d(d0). 由题意知a110，anan1an2114，a26a1an. 由anan1an2114，得3an1114，解得an138， (a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)， 解得d2，所以an1a1(n2)d38， 即102(n2)38，解得n16. 【答案】16,等差数列模型的应用,解等差数列应用题,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差数列知识求解,这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力.,祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额),(1)从第几年开始该台商获利？ (2)若干年后，该台商为开发新项目， 有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？,【解析】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f(n)50n 722n240n72. (1)获取纯利润就是要求f(n)0， 故有2n240n720，解得2n18. 又nN*，可知从第三年开始获利. (2)平均利润为 40 16，当且仅当n6时取等号.,故此方案获利2624067248144(万美元)，此时 n6. f(n)2n240n722(n10)2128， 当n10时，f(n)max128. 故此方案共获利12816144(万美元). 比较两种方案，第种方案只需6年，第种方案需要10年，故选择第种方案更合算.,等比数列模型的应用,某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2011年年底分红后的资金为1 000万元. （1）求该企业2015年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.,【解析】设an为(2011n)年年底分红后的资金，其中nN*， 则a121 0005001 500， a221 5005002 500，an2an1500(n2). an5002(an1500)(n2)， 即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列. an5001 0002n1， an1 0002n1500.,(1)a41 0002415008 500， 该企业2015年年底分红后的资金为8 500万元. (2)由an32 500，即2n132，得n6， 该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32 500万元.,递推数列模型的应用,某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n1年销售收入an与an1(单位：万元)满足关系式：anan1 100. (1)设今年为第1年，求第n年的销售收入an； (2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大.,【解析】(1)由题意可知anan1 100(n2)， an1an2 100， a3a2 100， a2a1 100， a1250 . 以上各式相加得，an500 100(n1) 500 100(n1)500 100(n1).,(2)要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和. an500 100(n1)， 要使an0，即500 100(n1)0， 也就是 1. 令bn ， 则bnbn1 ， 显然，当n3时，bnbn1，而b51，a50，a60. 该企业前5年的销售收入总和最大.,(2012湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【阅后报告】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.,课 时 作 业,5.6 数列综合性问题,1.(2014济南模拟)数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于 ( ) A.76 B.78 C.80 D.82,【解析】由已知an1(1)nan2n1， 得an2(1)n1an12n1， 得an2an(1)n(2n1)(2n1). 取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得 S12a1a2a3a4a11a1278. 【答案】B,2.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为( ) A1 B2 C3 D4,等差、等比数列的综合,1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. 2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对于两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解.,数列与解析几何、不等式的综合应用,【解析】(1)由题意得(1a2)2a1(a31)， 即(1 a1)2a1( a11)，解得a1 ，an . 设bn的公差为d， 又 T1b2， 即 8(8d)， T22b3， 16d2(82d)， 解得 ，或 1， d8 d0(舍去)， .,(2)由(1)知Sn1 ， Sn ， 又Tn4n24n， ， (1 )( ) (1 ) ， 由可知 Sn.,递推数列,已知数列an，bn满足：a10，b12 013，且对任意的正整数n，an，an1，bn和an1，bn1，bn均成等差数列. (1)求a2，b2的值； (2)证明：anbn和an2bn均成等比数列； (3)是否存在唯一的正整数c，使得ancbn恒成立？证明你的结论.,【解析】(1)a2 ，b2 . (2)证明：依题意，对任意的正整数n，有 an1 ， an1 an bn， bn1 bn1 an bn， 因为 ，nN*， 又a1b12 0130，所以anbn是首项为2 013，公比为1/4的等比数列；,因为 ，nN*， 又a12b14 0260， 所以an2bn是首项为4 026，公比为1的等比数列. (3)由(2)得 an2bn4 026， anbn ， 解得 an1 342 ， bn1 342 ，nN*. 显然，an是单调递增数列，bn是单调递减数列，且an 1 342bn，nN*.,即存在正整数c1 342，使得对任意的nN*，有an1 342. 而2101 024，2124 096，所以2n212，n7. 所以对任意的nN*，当n7时，1 341an1 342bn1 343， 所以正整数c1 342也是唯一的. 综上所述，存在唯一的正整数c1 342，使得对任意的nN*，有ancbn恒成立.,1.数列综合题的四种题型 （1）数列与其他章节的综合题 数列综合题,包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式知识的综合，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何部分也有广泛应用. （2）数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现,探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求. （3）等差数列与等比数列的综合问题 解决此类问题须从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征、结构特征，以探求解题思路，从而优化、简化解题过程的思想方法，在数列中，倘若抓住等差、等比数列项的性质，整体代换可简化解答过程.,2递推数列问题的一般处理方法 （1）利用化归思想，将非等差数列、非等比数列问题化归为等差或等比数列问题进行解决； （2）借助归纳思想，通过不完全归纳形成猜想后用数学归纳法解决问题； （3）依托函数思想，设法求出所给数列的通项公式后一般性解决问题. 3由递推公式求通项公式的常用方法 累加法、累乘法、叠代法、归纳法、换元法、待定系数法、特征方程法、不动点法等.,由于数列与函数的关系、数列与自然数n的对应、数列求和与不等式放缩的联系以及“能力立意”命题的需求，使得具有一定难度和一定综合性要求的数列试题常常光顾解答题中的后三题的位置，很多情况下甚至就是高考压轴题.这一类综合性问题，往往会与数列的递推公式相关，用于全面考查数列的概念与性质，考查逻辑运算能力以及数学知识的综合运用能力，学会处理这类问题往往成为高考中夺取数学高分的关键.求解时除了可以直接由递推公式求数列的通项公式和前n项和公式来研究数列的性质外，一般不需要求通项公式，也能直接利用递推关系来研究数列的性质.,【阅后报告】 本题属高难度试题，以解析几何问题为载体主要考查了数列的函数属性，要求综合运用导数和不等式的相关知识，对考生的思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力提出了较高的要求.,【证明】(1)对每个nN*，当x0时，fn(x)1 0，故fn(x)在(0，)内单调递增 由于f1(1)0，当n2时，fn(1) 0.故fn(1)0.又fn( )1 所以存在唯一的xn ,1满足fn(xn)0.,(2)当x0时，fn1(x)fn(x) fn(x)， 故fn1(xn)fn(xn)fn1(xn1)0. 由fn1(x)在(0，)内单调递增，xn1xn， 故xn为单调递减数列从而对任意n，pN*，xnpxn. 对任意pN*，由于fn(xn)1xn 0，,fnp(xnp)1xnp 0， 式减去式并移项，利用0xnpxn1，得 xnxnp 因此，对任意pN*，都有0xnxnp .,
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