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第 10 讲,函数与方程,1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似,解,1函数的零点 (1) 方 程 f(x) 0 有 实 根 函 数 y f(x) 的 图 象与x轴有,_函数 yf(x)有零点；,交点,(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的， 且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点一,般把这一结论称为零点存在性定理,2二分法,如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)f(n)0，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在区 间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法,1如图 2-10-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个 不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x),零点的区间是(,),B,图 2-10-1,A2.1，1 C4.1,5,B1.9,2.3 D5,6.1,2(2012 年广东韶关一模)若函数 f(x)x3x22x2 的一 个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程 x3 x2 2x20 的一个近似根(精确到 0.1)为,(,C,) A1.2 C1.4,B1.3 D1.5,3方程 2xx40 的解所在的区间为(,),C,A(1,0),B(0,1),C(1,2),D(2,3),解析：令 f(x)2xx4，f(1)f(2)20，f(x)在(1,2) 内有零点,4函数 f(x)log3xx2 的零点所在的区间为(,),B,A(0,1),B(1,2),C(2,3),D(3,4),解析：函数f(x)log3xx2 的定义域为(0，+)，且在(0， )上单调递增又f(1)10，函数f(x) 有唯一零点，且零点在区间(1,2)内,考点 1,判断函数零点所在的区间,例 1：(1)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下 表：,那么方程 2xx2 的一个根位于下列区间中的(,),A(0.6,1.0) C(1.8,2.2),B(1.4,1.8) D(2.6,3.0),解析：令 f(x)2xx2.由 f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.0 1.00 ，排除A ；由 f(1.4) 2.639 1.960 ，f(1.8) 3.482 3.240，排除 B；由 f(2.6)6.0636.760，f(2.2)4.5954.840，可 确定方程 2xx2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上,答案：C,答案：C,【规律方法】判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，,常用以下三种方法：,当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落,在给定区间上；,利用函数零点的存在性定理进行判断；,通过函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交,点来判断.,【互动探究】 1(2013 年重庆)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(x,b)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间(,),A,A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 解析：f(a)(ab)(ac)0；f(b)(bc)(ba)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别位于区 间(a，b)和(b，c)内,考点2,二分法的应用,例2：已知函数 f(x)lnx2x6. (1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点；,(1)证明：函数 f(x)的定义域为(0，)， 设 x1x2，则 lnx1lnx2,2x12x2. lnx12x16lnx22x26. f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数,(2)证明：f(2)ln220， f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点 又由(1)知，f(x)在(0，)上是增函数，因此 f(x)0 至多 有一个根，从而函数 f(x)在(0，)上有且只有一个零点,【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方,法，它只能用来求函数的变号零点；,(2)给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤,如下：,确定区间m，n，验证 f(m)f(n)0，给定精度； 求区间m，n的中点 x1；,计算 f(x1)：)若 f(x1)0，则x1 就是函数yf(x)的零点； ) 若 f(m)f(x1)0 ，则令nx1 此时零点x0 (m ，x1) ；) 若 f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n),【互动探究】 2若函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对,),值不超过 0.25，则 f(x)可以是( Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex1,答案：A,考点 3,利用导数讨论方程的根的分布,例 3：(2013 年广东广州一模)已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0 的解集是(0,5)，且 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy 10 平行 (1)求 f(x)的解析式；,(2)是否存在 tN，使得方程 f(x),37 x,0 在区间(t，t1),内有两个不相等的实数根？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由,思维点拨：(1)由二次不等式f(x)0 的解集可设出 f(x)解析,式，利用条件求出 f(1)，解出待定系数,(2)对方程作等价变形,利用导数和变号零点判定法则探求 t.,函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行， f(1)6.,2a5a6，解得 a2. f(x)2x(x5)2x210x.,解：(1)方法一:f(x)是二次函数,不等式f(x)0. f(x)2ax5a.,方法二：设 f(x)ax2bxc， 不等式 f(x)0 的解集是(0,5)， 方程 ax2bxc0 的两根为 0,5.,c0,25a5b0.,f(x)2axb， 又函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行， f(1)6.,2ab6.,由，解得 a2，b10. f(x)2x210x.,【互动探究】,3函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是(,),A0 个,B1 个,C2 个,D3 个,B,解析：因为 f(x)2xln23x20，所以函数 f(x)2xx3 2 在(0,1)内单调递增又 f(0)1210，所以由零点存在性定理知，在区间(0,1)内函数的零点个 数为 1 个故选 B.,思想与方法,运用分类讨论思想判断方程根的分布,例题：已知函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1,上有零点，求实数 a 的取值范围,令 f(x)0，得 x1 是区间1,1上的零点,当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分三种情况：,解：方法一：当a0 时，f(x)x1.,【规律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间 1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与 a0；讨论有一个 零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根 (2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x),0 的实数根,(3)准确理解根的存在性定理：f(x)在a，b上连续； f(a)f(b)0.其中是零点存在的一个充分条件，不是必要条件， 并且满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满 足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上未必无零点,也可能有多个零点,
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