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第5讲,离散型随机变量及其分布列,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.,2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解 n 次 独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问 题.,1.随机变量,(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字,母 X，Y，表示.,(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变,量.,(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫,做连续型随机变量.,2.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：,A 发生的条件下，事件 B 发生的概率. (2)条件概率的求法： 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,(3)条件概率的性质：,0,1,条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_； 若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A) P(C|A).,3.事件的相互独立性,P(A)P(B),(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)_，则称事件 A 与事件 B 相互独立.,4.离散型随机变量的分布列,称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列. 有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表 示 X 的分布列.,一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表：,5.离散型随机变量分布列的性质,(1)pi0(i1,2，n).(2)p1p2pn1. 6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：,如果随机变量 X 的分布列为：,其中 0p1，称 X 服从两点分布，而称 pP(X1)为成功,概率.,(2)超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰,k0,1,2，m(其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M， NN*)，称随机变量 X 服从超几何分布，其分布列如下表：,(3)二项分布：,一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复,(k0,1,2,n).此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 XB(n， p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：,1.下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一,个是(,),C,D,C,4.某一射手射击所得的环数的分布列如下：,0.7,此射手“射击一次命中环数不小于 8 环”的概率为_.,考点 1,离散型随机变量的分布列,例 1：(2014 年广东珠海二模)已知甲、乙两名乒乓球运动 员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲 甲、乙二人准备进行三局比赛. (1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率； (2)用表示三局比赛中甲获胜的局数，求的分布列.,【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：,写出X 的所有可能取值(注意准确理解X 的含义，以免失,误)；,利用概率知识(古典概型或相互独立事件的概率)求出 X,取各值的概率；,列表并检验，写出分布列.,【互动探究】,1.(2013 年山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概,结果相互独立.,(1)分别求甲队以 30,31,32 获胜的概率；,(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分，对方得 1 分.求乙 队得分 X 的分布列.,解：(1)记“甲队以 30,31,32 获胜”分别为事件 A1， A2，A3.由题意，各局比赛结果相互独立，,(2)设“乙队以 32 获胜”为事件 A4，由题意，各局比赛 结果相互独立，所以,由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事 件的互斥性，得,故 X 的分布列为：,考点 2,超几何分布的应用,例 2：2012 年春节前，有超过 20 万名广西、四川等省籍的 外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年， 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作 而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了 多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托 车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就询问驾驶人员的 省籍一次，询问结果如图 9-5-1：,图 9-5-1,(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的,是什么抽样方法？,(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽,样，若广西籍的有 5 名，则四川籍的应抽取几名？,(3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名，求抽取的 2 名驾驶,人员中四川籍人数的分布列.,解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的 是系统抽样方法. (2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有 5 20252030100(名)， 四川籍的有 151055540(名). 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名，依题意，得,(3)的所有可能取值为 0,1,2.,的分布列为：,【规律方法】在超几何分布中，只要知道N，M 和 n，就 可以根据公式，求出X 取不同值m 时的概率P(Xm)，从而列 出 X 的分布列.,【互动探究】,2.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球.,(1)采取放回抽样方式，从中摸出 2 个球，求 2 个球恰好颜,色不同的概率；,(2)采取不放回抽样方式，从中摸出 2 个球，求摸得白球的,个数的分布列.,解：(1)采取放回抽样方式，从中摸出 2 个球，2 球恰好颜 色不同，也就是说从 5 个球中摸出一球，若第一次摸到白球， 则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.,考点 3,二项分布的应用,例 3：(2014 年上海金山一模)2012 年 3 月 2 日，国家环保 部发布了新修订的环境空气质量标准.其中规定：居民区中 的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小 时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取 了一居民区 2013 年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测 数据，数据统计如下：,(1)请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数,(不必写出计算过程)；,(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改 进？并说明理由；,(3)将频率视为概率，对于 2013 年的某 2 天，记这 2 天中 该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的 天数为，求的分布列及数学期望 E().,解：(1)众数约为 22.5，中位数约为 37.5. (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7.50.1 22.50.3 37.50.2 52.50.2 67.50.1 82.50.140.5(微克/立方米). 因为40.535，所以2013 年该居民区PM2.5 年平均浓度不 符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进. (3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环,【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其 一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了 n 次.,(2)二项分布满足的条件：,每次试验中，事件发生的概率是相同的； 各次试验中的事件是相互独立的；,每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； 随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.,【互动探究】,3.一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，从袋子里 随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到 1 个红球得 2 分，取到 1 个黑球得 1 分.,(1)若从袋子里一次随机取出 3 个球，求得 4 分的概率； (2)若从袋子里每次取出 1 个球，看清颜色后放回，连续取,3 次，求得分的概率分布列.,思想与方法,分类讨论思想与离散型随机变量的结合,例题：(2014 年福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖 的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额.,(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其,余 3 个均为 10 元，求：,i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率；,ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.,ii)依题意，得X 的所有可能取值20,60.,即 X 的分布列为：,所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)200.5600.5,40.,(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1； 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.,以下是对两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1 的分布列为,对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2 的分布列为：,由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.,【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力. 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.,
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