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第九章,概率与统计,第1讲,计数原理与排列组合,1.理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理.,2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决,一些简单的实际问题.,3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公,式、组合数公式，能解决简单的实际问题.,1.分类加法原理与分步乘法原理,m1m2mn,(1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法. (2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法.,2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用,n！ (nm)！,n！,1,3.组合与组合数,1,(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用,1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中，则不同放法种数有,(,),B,A.81 种,B.64 种,C.12 种,D.14 种,2.(2013 年大纲)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖， 2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种.(用,数字作答),60,3.(2013 年大纲)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的,不同排法共有_种.(用数字作答),480,36,4.(2014 年广东广州调研)有 4 名优秀学生 A，B，C，D 全 部被保送到甲，乙，丙 3 所学校，每所学校至少去 1 名，则不 同的保送方案共有_种.,考点 1,排列问题,例 1：7 位同学站成一排照相. (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两位同学必须相邻的排法共有多少种？ (5)甲、乙两位同学不能相邻的排法共有多少种？ (6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？,【规律方法】在本题中，我们可以体会到求排列应用题的,主要方法：,直接法：把符合条件的排列数列式计算，如第(1)问； 特殊元素(或位置)优先安排的方法：先安排特殊元素或,特殊位置.如第(2)(3)问；,相邻问题捆绑处理的方法：可以把相邻元素看作一个整 体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列.如第(4) 问；,不相邻问题插空处理的方法：先考虑不受限制的元素的 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.如第(5) 问；,定序问题除法处理的方法：可以先不考虑顺序限制，排,列后再除以定序元素的全排列.如第(6)问.,【互动探究】 1.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2,D,人不相邻的坐法种数为( A.144 种 C.72 种,) B.120 种 D.24 种,解析：先放 3 把空椅子，剩下 3 人带着椅子插空坐，共有,考点 2,组合问题,例 2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校 的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？ (1)无任何限制； (2)甲、乙必须当选； (3)甲、乙都不当选； (4)甲、乙只有一人当选； (5)甲、乙至少有一人当选； (6)甲、乙至多有一人当选.,【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：,“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；,“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必 须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复 杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,【互动探究】 2.(2013 年上海)从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学都有的概率为,_(结果用数值表示).,考点 3,排列组合的综合问题,例 3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)平均分成三堆，每堆两本； (2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本； (3)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (4)甲得一本，乙得两本，丙得三本； (5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.,【规律方法】求解排列、组合问题的思路是：“排组分清， 加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.” 求解排列、组合问题的常用方法： 简单问题直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 部分符合条件排除法：先求出不考虑限制条件的排列， 然后减去不符合条件的排列数；,相邻问题捆绑法：在特定条件下，将几个相关元素当作 一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的 排列，它主要用于解决相邻或不相邻的问题；,相间问题插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元 素插排在它们之间或两端的空中，它与捆绑法有同等作用； 特殊元素位置优先安排：对问题中的特殊元素或位置首,先考虑排列，再排列其他一般元素或位置；,多元问题分类法：将符合条件的排列分为几类，而每一 类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数；,至多至少间接法：“至多”“至少”的排列组合问题， 需分类讨论且一般分类的情况较多，所以通常用间接法，即排 除法.它适用于反面明确且易于计算的问题； 均分问题作商法：平均分组问题，若m 个元素平均分成,n 组，则分法总数为,.,【互动探究】 3.(2014 年浙江)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张， 其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，则不同,的获奖情况有_种(用数字作答).,60,思想与方法 分类讨论思想在排列组合问题中的应用 例题：(1)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一 个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案,共有(,),A.70 种 C.100 种,B.80 种 D.140 种,答案：A,(2)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志 愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之 一，每项工作至少有 1 人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三 项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种,数是(,),A.152 种,B.126 种,C.90 种,D.54 种,答案：B,【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素的位置的选取而出现变化，故出现了分类讨论，分类讨 论既不要重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.,
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