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专题六,概率与统计,题型 1,概率与统计,例 1：为调查某中学高三男学生的身高情况，在该中学高 三男学生中随机抽取了 40 名同学作为样本，测得他们的身高 后，画出频率分布直方图如图 6-1. 图 6-1,(1)估计该校高三男生的平均身高；,(2) 从身高在 170 cm( 含 170 cm) 以上的样本中随机抽取 2 人，记身高在 170175 cm 之间的人数为 X，求 X 的分布列和 数学期望,(部分参考数据：167.50.125172.50.35177.50.325,139.00),解：(1)由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身 高为 0.325182.50.1187.50.05174.75(cm) (2)由频率分布直方图知，所抽取的样本中身高在170175 cm 之间的人数有 0.07054014(人)， 所抽取的样本中身高在 170cm(含 170 cm)以上的人数有 (0.0700.0650.0200.010)54033(人)， 所以 X 的可能取值为 0,1,2，且有,【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数 据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题本小题主要 考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总 体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能 力,(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要 知识点，因此是高考命题的一种重要题型，广东2007 年高考就 出过关于线性回归方程知识的大题，因此要注意熟练掌握统 计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！,【互动探究】,1(2014 年北京顺义一模)为增强市民的节能环保意识，某 市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的 500 名志愿者 中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图 6-2，其 中年龄分组区间是20,25)，25,30)，30,35)，35,40)，40,45 (1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿,者中年龄在35,40)岁的人数；,(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽 取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随 机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人记这 3 名志愿者 中“年龄低于 35 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望,图 6-2 解：(1)小矩形的面积等于频率， 除35,40)外的频率和为(0.070.040.020.01)50.70.,500 名志愿者中，年龄在35,40)岁的人数为 0065500150(人),(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名， 则其中“年龄低于 35 岁”的人有 0.1252012(名)， “年龄不低于 35 岁”的人有 0.085208(名) 故 X 的可能取值为 0,1,2,3，,题型 2,离散型随机变量的期望与方差,随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变 量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是 层层递进的关系因此，这类试题经常是以两个小题的形式出 现，第一问是为第二问作铺垫的,(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望,图 6-3,解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分,为 i 分”(i0,1,3)，,记 Bi为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i,分”(i0,1,3)，,记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙,上”,由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3),(2)由题意，随机变量可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性和互斥性，得,【规律方法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互,斥事件的概率；,(2)首先确定 X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立 事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可 计算数学期望,(3)离散型随机变量分布列的性质p1p2pn1，这条 性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在 求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒(如 1 0.040.420.54)，否则将失去自我检查的机会,【互动探究】,2(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分 别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：,(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润(单位：万元)，求方差D(y1)，D(y2)；,解：(1)由题设知，y1和y2的分布列分别为：,(2)将x(0x100)万元投资A项目，(100x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值注：D(axb)a2D(x),E(y1)50.8100.26， D(y1)(56)20.8(106)20.24， E(y2)20.280.5120.38， D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.,题型 3,线性回归分析,例 3：(2012 届广东珠海摸底)一商场对每天进店人数和商 品销售件数进行了统计对比，得到如下表格： 其中 i1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，在 图 6-4 中画出其散点图； (2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)；,(3)预测进店人数为 80 人时，商品销售的件数(结果保留整 数) 图 6-4,解：(1)散点图如图 6-5.,图 6-5,【互动探究】,3下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程 中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标准煤) 的几组对照数据.,(1)请画出上表数据的散点图；,(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的 生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：32.5435464.566.5) 解：(1)散点图略,
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