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12.5 统计与统计案例,高考理数,一、随机抽样 1.简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个 不放回 地抽取n个个体作为样本(nN),如果每 次抽取时总体内的各个个体被抽到的 机会都相等 ,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 最常用的简单随机抽样的方法有两种: 抽签法 和 随机数法 . 2.系统抽样 当总体中的个体比较多时,首先把总体分成均衡的若干部分,然后按照事先确定的规则,从每一 部分中抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样. 3.分层抽样 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量 的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样.,知识清单,二、用样本估计总体 1.用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布表与频率分布直方图 频率分布表和频率分布直方图,是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数 据分布的规律.它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况. 绘制频率分布直方图的步骤: 求极差;决定组距与组数;将数据分组;列频率分布表;画频率分布直方图. (2)频率分布折线图 连结频率分布直方图中 各小长方形上端的中点 ,就得到频率分布折线图. (3)茎叶图 一般地,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数:一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数:将数据从小到大(或从大到小)排列,若有奇数个数,则最中间的数是中位数;若有偶数 个数,则中间两数的平均数是中位数.,(3)平均数: = ,反映了一组数据的平均水平. (4)标准差: s= ,反映了样本数据的离散程度. (5)方差:s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2 ,反映了样本数据的离散程度. 三、变量间的相关关系及回归分析 1.相关关系:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相 关关系.与函数关系不同,相关关系是一种不确定关系. 2.散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两变量 的关系是否可以用线性关系表示.若这些点散布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量 正相关 ;若这些点散布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量 负相关 .,3.回归分析:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.在线性回归模型y= bx+a+e中,因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化,在统 计中,我们把自变量x称为解释变量,因变量y称为预报变量. 4.回归方程: = x+ ,其中 = , = - ,它主要用来估计和预测取值,从而获得对这两 个变量之间整体关系的了解. 5.相关系数: ,它主要用于相关量的显著性检验,以衡量它们之间的线 性相关程度.当r0时,表示两个变量正相关;当r0时,表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个 变量的线性相关性 越强 ;当|r|接近0时,表明两个变量间几乎不存在 线性相关关系 . 四、独立性检验 1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. 2.列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值 分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称为22列联表)为:,可构造一个随机变量 K2= ,其中n=a+b+c+d为样本容量.,3.独立性检验 利用随机变量、独立性假设来确定是否一定有把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为 两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量X和Y是否有关系的判断方法: 当K22.706时,没有充分的证据判定变量X,Y有关联,可以认为X,Y没有关联; 当K22.706时,有90%的把握判定变量X,Y有关联; 当K23.841时,认为X与Y无关; 当K23.841时,有95%的把握说X与Y有关; 当K26.635时,有99%的把握说X与Y有关; 当K210.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.,【知识拓展】 1.随机抽样,2.用样本估计总体 用样本估计总体,包括用“形”与“数”两个方面.用“形”就是利用样本数据列出频率分布 表、画出频率分布直方图和频率折线图.用“数”就是用样本的数字特征来反映总体的某个方 面的特征,最常用的是借助平均数、众数、中位数、标准差和方差等数字特征来估计数据的平 均水平和离散、波动的程度.它们是同一组数据的频率分布的不同表现形式. 3.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要解决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系,如果有,就找出它们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势; (3)求出回归直线方程.,简单随机抽样的方法有:抽签法和随机数法. 系统抽样的步骤:将总体中的个体随机编号;将编号分段;在第1段中用简单随机抽样确定 起始的个体编号;按照事先研究的规则抽取样本. 分层抽样的步骤:分层;按比例确定每层抽取个体的个数;各层抽样(方法可以不同);合 成样本. 例1 (2016河南龙子湖一模,17,12分)我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100,200,300,40 0,500,600,700,800,900,1 000(单位:元)十个档次,某社区随机抽取了50名村民,按缴费在100500 元,6001 000元,以及年龄在2039岁,4059岁之间进行了统计,相关数据如下:,突破方法,方法1 抽样方法,(1)用分层抽样的方法从缴费在100500元之间的村民中随机抽取5人,则应从年龄在2039 岁之间的村民中抽取几人? (2)从缴费在100500元之间抽取的5人中,随机选取2人进行到户走访,求这2人的年龄都在4059 岁之间的概率. 解析 (1)设应从年龄在2039岁之间的村民中抽取x人,则 = ,解得x=2. 所以应从年龄在2039岁之间的村民中抽取2人. (2)设从缴费在100500元之间抽取的5人中,年龄在2039岁之间的2人为A,B,在4059岁之间的3 人为a,b,c, 则随机选取2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种. 年龄都在4059岁之间的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种, 则所求概率P= . 1-1 (2016广西南宁三模,5,5分)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们 随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中, 编号在1450内的人做问卷A,编号在451750内的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15 答案 C 解析 由题意可知系统抽样中每一组的样本数为 =30,因为第一组抽取的样本号码为9,所以 第k组抽取的样本号码应该为9+30(k-1)(kN*).由4519+30(k-1)750,得16k25(kN*), 所以k=16,17,25,共10个,即应该有10人做问卷B.,从频率分布直方图中得出有关数据的方法: (1)频率=组距 ; (2)频率比=小长方形的高的比; (3)众数:最高小长方形底边中点的横坐标; (4)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标; (5)平均数:每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 例2 (2014吉林延吉一模,19,12分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中,抽取一个样本,考察 竞赛的成绩分布.将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小长方形 的高的比是13642,最后一组的频数是6.,方法2 频率分布直方图的应用,请结合频率分布直方图,解答下列问题: (1)样本的容量是多少? (2)列出频率分布表; (3)成绩落在哪个范围内的人数最多?并求该小组的频数、频率; (4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比. 解析 (1)由于各组的组距相等,所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于 1,那么各组的频率分别为 , , , , .设该样本容量为n,则 = ,解得n=48.,(2)由以上得频率分布表如下:,(3)成绩落在70.5,80.5)之间的人数最多,该组的频数和频率分别是18和 . (4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为 100%=93.75%. 2-1 (2014广东,17,13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件), 获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:,(1)确定样本频率分布表中n1,n2, f1和f2的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的 概率. 解析 (1)n1=7,n2=2, f1=0.28, f2=0.08. (2)样本频率分布直方图如图所示.,(3)根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为0.2,设所取的4人 中,日加工零件数落在区间(30,35的人数为,则B(4,0.2),P(1)=1-P(=0)=1-(1-0.2)4=1-0.409 6 =0.590 4, 所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为0.590 4.,1.制作茎叶图的方法:将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者 共用一个茎,茎按从小到大的顺序由上到下列出. 2.估计数字特征,给定两组数据的茎叶图,“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小. 例3 (2014山东东营二模,10,4分)甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计图用茎叶图表示 如图所示,若甲、乙两名同学的平均成绩分别用 、 表示,则下列结论正确的是 ( ) A. ,且甲比乙成绩稳定 B. ,且乙比甲成绩稳定 C. ,且甲比乙成绩稳定 D. ,且乙比甲成绩稳定,方法3 茎叶图的应用,解析 =90, =88,甲同学的成绩的方差是 (1+4+0+1+4)=2,乙同学的成绩的方差是 (25+0+ 1+1+9)=7.2,故甲同学的成绩比乙的稳定. 答案 A 3-1 (2016宁夏银川一中4月月考,19,12分)为了解某地高中生身高情况,研究小组在该地高中生 中随机抽出30名高中生的身高制成如图所示的茎叶图(单位:cm). 若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为 “非高个子”.,(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至 少有一人是“高个子”的概率; (2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选3人,用表示所选3人 中“高个子”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望. 解析 (1)根据茎叶图知,抽取的30名学生中有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样 的方法抽取5人,又 = ,所以抽中的“高个子”有12 =2人,“非高个子”有18 =3人. 从这5人中选2人,用事件A表示“至少有一名高个子被选中”,则它的对立事件 表示“没 有高个子被选中”,则P(A)=1-P( )=1- =1- = . 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 . (2)抽取的30名学生中有12名是“高个子”,所以抽取1名学生,是“高个子”的频率为 = ,用 样本估计总体,把频率作为概率,那么从该地所有高中生中抽取1名学生,是“高个子”的概率是 .,从该地所有高中生中抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验,于是,服从二项分布B , 的所有可能取值为0,1,2,3. P(=0)= = ,P(=1)= = , P(=2)= = ,P(=3)= = . 因此,的分布列如下:,所以E()=0 +1 +2 +3 = .,(1)平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,可对总体进行一种简明的 描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势, 方差和标准差可描述波动大小. (2)有关平均数、方差的一些结论: 若数据x1,x2,xn的平均数为 ,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是m +a. 设数据x1,x2,xn的方差为s2,则 a.s2= ( + + )-n ; b.数据x1+a,x2+a,xn+a的方差也为s2; c.数据ax1,ax2,axn的方差为a2s2. 刻画一组数据的“集中趋势”的数字特征:中位数、众数、平均数;刻画一组数据的“离散程 度”的数字特征:极差、方差、标准差.平均数容易掩盖一些极端情况,使我们作出对总体的片 面判断,但标准差较好地避免了极端情况,因此,往往结合平均数和标准差对总体作出较好的估 计.,考点一 西方人文精神的起源古希腊先哲,例4 甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价. 解题导引 (1)由题图知甲、 乙二人成绩利用公式求 平均数、方差 (2)比较平均数、方差大小评价 解析 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为,甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分. = =13, = =13, = (10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2=4, = (13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8. (2)由 可知乙的成绩较稳定. 从折线图看,甲的成绩基本上呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙 的成绩无明显提高. 4-1 (2016河南郑州回民中学4月月考,6,5分)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)的统计图如图所示,假设得分值的中位数为m,众数为 n,平均数为 ,则 ( ),求线性回归方程的步骤: 例5 (2014湖南长沙3月月考,18,12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中 记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.,方法5 线性回归分析,(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y= x+ ; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测 生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤. (参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5) 解析 (1)由题设所给数据,可得散点图如下图.,(2)由对照数据,计算得 所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为 = =0.7, = - =3.5-0.74.5=0.35. 因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7100+0. 35)=19.65吨标准煤. 5-1 (2015江西一模,18,14分)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化的繁殖情况,得如下 实验数据:,(1)求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测t=8时,细菌繁殖个数. 附: = , = -b . 解析 (1)由表中数据计算得, =5, =4, (ti- )(yi- )=8.5, (ti- )2=10, = =0.85, = - =-0.25. 所以,回归方程为y=0.85t-0.25. (2)将t=8代入回归方程y=0.85t-0.25中得y=0.858-0.25=6.55. 故预测t=8时,细菌繁殖个数为6.55千个.,独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可 信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造 的随机变量K2应该很小.如果由观测数据计算得到的K2的观察值k很大,则在一定程度上说明假 设不合理.根据随机变量K2的含义,我们把K2k0解释为有1-P(K2k0)100%的把握认为“两个 分类变量有关系”;把K2k0解释为没有1-P(K2k0)100%的把握认为“两个分类变量有关 系”,或者由样本观测数据不能充分说明“两个分类变量有关系”. 例6 (2016辽宁沈阳3月月考,19,12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作 的态度进行了调查,统计数据如下表所示:,方法6 独立性检验,(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽 到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关,并 说明理由. 解析 (1)随机抽查这个班的一名学生,有50种不同的抽查方法,由于积极参加班级工作的学生 有24人,所以有24种不同的抽法,因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的 学生的概率P1= = ,又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,所以抽 到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率P2= . (2)由K2统计量的计算公式得 K2= 11.538, 由于11.53810.828,所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 6-1 (2015长沙一模,18,12分)甲、乙两个班进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以 下为非优秀统计成绩后,得到如下列联表.,已知在全部的105人中随机抽取1人为优秀的概率为 . (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班10名优秀的学生按2到11进行编号,先后 两次抛掷一枚骰子,出现的点数之和为被抽取的学生编号.试求抽到6号或10号的概率. 参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d. 概率表,解析 (1),(2)根据列联表中的数据,得到K2= 6.1093.841, 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到6号或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数分别为x,y. 则所有的基本事件(x,y)有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(6,6),共36个. 事件A包含的基本事件(x,y)有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)、(4,6)、(5,5)、(6,4),共8个.P (A)= = .,
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