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2.2 函数的基本性质,高考理数,一、函数的单调性 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2) ,则f(x)在区间D上是减函数. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的 单调区间 . 二、函数的奇偶性与周期性 1.偶函数和奇函数,知识清单,2.周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么 就称函数y=f(x)为 周期函数 ,T为这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的 最小正周期. 三、函数的最值,【知识拓展】 1.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性反映了函数在 区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性 质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确函数具备 奇偶性的必要条件:函数的定义域关于原点对称.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对 称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊 的对称性的反映. 3.对称性与周期的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数 f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周 期. (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数 f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期. (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数 f(x)必为周期函数,4|a-b|是它的一个周 期.,方法1 函数单调性的判定、单调区间的求法及应用 1.求函数的单调区间.常用的方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求 定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图 象易作出,则可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的 单调区间. 2.若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数,则f(x1)f(2a-x)在a,a+1上 恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-2) B.(-,0) C.(0,2) D.(-2,0) (2)(2015辽宁葫芦岛一模,15,5分)函数f(x)=log0.5(x2-4)的单调递增区间为 .,突破方法,解析 (1)函数f(x)=x2-4x+3在(-,0上为减函数,且f(x)=-x2-2x+3在(0,+)上也为减函数,又因为 函数f(x)为R上的连续函数,所以f(x)在R上为减函数,因为f(x+a)f(2a-x),所以x+a0,得函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),令t=x2-4, y=log0.5t在t(0,+)上单调递减,t=x2-4(x2或x-2)的单调递减区间为(-,-2), f(x)的单调递增区间为(-,-2). 答案 (1)A (2)(-,-2) 1-1 (2015四川泸州一模,4,5分)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),都有 0”的是 ( ) A.f(x)=ln x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)= D.f(x)=x3 答案 C,解析 对任意x1,x2(0,+),都有 f(x2),所以f(x)在(0,+)上是减函数, 对于A, f(x)=ln x在(0,+)上是增函数,故A不满足; 对于B,函数f(x)=(x-1)2在(-,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,故B不满足; 对于C,函数f(x)= 在(-1,+),(-,-1)上均为减函数,则在(0,+)上是减函数,故C满足; 对于D,函数f(x)=x3在R上是增函数,故D不满足,故选C.,方法2 函数的奇偶性的判定及应用 1.根据定义判断:(1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称,若不对称,则既不是奇函数 也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,再判定f(-x)与f(x)之间的关系,然后确定函数的奇偶性. 2.利用函数的图象特征判断 函数f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称;函数f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称. 3.根据性质判断(在公共定义域内):奇奇=奇,偶偶=偶;奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 4.抽象函数奇偶性的判断 (1)找准方向:找出含有f(x), f(-x)的等式; (2)合理变形:适当赋值、配凑,通过代入或加减等方法建立f(x)与f(-x)的联系,x1=x2+x1-x2,x1=x2 都是常用的变形方法; (3)明确结论:找到f(x)与f(-x)之间的关系,从而确定函数的奇偶性. 5.函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式:当已知函数f(x)在原点一侧的解析式时,利用f(-x)与f(x)的关系得到在原点另一,侧的解析式,即可求得函数在整个定义域内的解析式.当函数表达式中含有字母参数时,利用f(-x) f(x)=0可得关于字母的恒等式,由系数对应相等即可求得字母参数的值. (2)求某些特殊的函数值:奇函数的图象关于原点对称,有f(-x0)+f(x0)=0,而偶函数的图象关于y轴 对称,有f(-x0)=f(x0).若已知f(-x0)的值,由上述关系可求得f(x0)的值. 例2 (1)(2015江西模拟,4,5分)已知函数f(x)=x-2,g(x)=x3+tan x,那么 ( ) A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)+g(x)是奇函数 D.f(x)+g(x)是偶函数 (2)(2012课标全国,16,5分)设函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m= . 解析 (1)函数f(x)g(x)=x-2(x3+tan x),函数的定义域为 (kZ), 则f(-x)g(-x)=x-2(-x3-tan x)=-x-2(x3+tan x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数. 函数f(x)+g(x)=x-2+(x3+tan x),函数的定义域为 (kZ), f(-x)+g(-x)=x-2-x3-tan x-(f(x)+g(x), f(-x)+g(-x)f(x)+g(x), 所以f(x)+g(x)是非奇非偶函数,故选A.,(2)显然其定义域为全体实数, f(x)= =1+ , 设g(x)= ,g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m =g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2. 答案 (1)A (2)2 2-1 (2015河南天一四联,5,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3 +2-x,则f(2)+g(2)= ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 答案 B 解析 f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x, f(-2)-g(-2)=(-2)3+22=-4, f(2)+g(2)=f(-2)-g(-2)=-4. 故选B.,2-2 (2014课标,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结 论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案 C 解析 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数, 故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选 项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f (x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.,方法3 函数周期的求法及应用 1.几种常见抽象函数的周期,2.求一般函数周期的方法: 递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x),所以2a为f(x)的一个周期. 换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t),所以2a为f(x)的一个周 期. 例3 (2015四川达州一模,5,5分)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1, f(2)=3,则f(8)-f(4)的 值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 f(x)是R上周期为5的奇函数,f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=-1, f(-2)=-f(2)=-3, f(8)=f(8-5)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-3,f(4)=f(4-5)=f(-1)=-1, f(8)-f(4)=-3-(-1)=-2,故选C. 答案 C 3-1 (2016广西南宁二中4月月考,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上, f(x)= 其中a,bR,若f =f ,则a+3b的值为 . 答案 -10 解析 T=2,f =f =- a+1. f = = ,- a+1= , a+b=-1. ,又f(1)=f(-1),-a+1= ,b=-2a. 由解得a=2,b=-4,a+3b=-10.,
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