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1.1.2 瞬时变化率导数(二),第 1章 1.1 导数的概念,1.理解曲线的切线的含义. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的切线方程. 4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 曲线的切线 如图所示，当点Pn沿着曲线yf(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的 . (1)曲线yf(x)在某点处的切线与该点的位置有关； (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点， 可以有多个，甚至可以有无穷多个. 思考 有同学认为曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的 切线l与曲线yf(x)只有一个交点，你认为正确吗？ 答案 不正确.曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与 曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.,答案,切线,知识点二 导数的几何意义 函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的 . 思考 (1)曲线的割线与切线有什么关系？ 答案 曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点. (2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？ 答案 函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率. 函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x) 在x0处有切线，但不可导.,斜率,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 求曲线的切线方程 1.求曲线在某点处的切线方程 例1 求曲线yf(x)x3x3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上，且f(x)在x1处可导，,(x)23x2， 当x0时，(x)23x22，故f(1)2. 故所求切线方程为y32(x1)，即2xy10.,反思与感悟,反思与感悟,若求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线yf(x)上，且是切点，其切线方程为yy0f(x0)(xx0).,解析答案,跟踪训练1 (1)曲线f(x) x3x25在x1处切线的倾斜角为_.,解析 设切线的倾斜角为，,由导数几何意义得tan 1.,解析答案,(2)曲线yf(x)x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为_.,点P的坐标是(1,1)或(1，1).,(1，1)或(1,1),解析答案,2.求曲线过某点的切线方程 例2 求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程.,反思与感悟,23x23xx(x)2，,当x0时，其值趋近于23x2.,又切线过点(1，2)，,解析答案,反思与感悟,当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y2x；,即19x4y270. 综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的直线方程为y2x或19x4y270.,反思与感悟,反思与感悟,若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.,解析答案,跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程.,当x0时，其值趋近于2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0). 点A在曲线yx2上，,又A是切点，过点A的切线的斜率,解析答案,所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，,解得x01或x05.,从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010. 所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)， 即2xy10和10xy250.,解析答案,题型二 求导函数,解 yf(xx)f(x),反思与感悟,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)x21，求f(x)及f(1). 解 因yf(xx)f(x) (xx)21(x21) 2xx(x)2，,故当x0时，其值趋近于2x. 得f(x)2x，f(1)2.,解析答案,题型三 导数几何意义的综合应用 例4 设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值. 解 yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，,由题意知f(x)最小值是12，,反思与感悟,反思与感悟,与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.,解析答案,跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.(请用“”连接),解析 结合导数的几何意义知， k1就是曲线在点A处切线的斜率， k2则为在点B处切线的斜率， 而k3则为割线AB的斜率， 由图易知它们的大小关系.,k1k3k2,解析答案,故交点坐标为(1,1).,曲线yx2在点(1,1)处切线方程为l2：2xy10.,易错易混,因对“在某点处”“过某点”分不清致误,例5 已知曲线yf(x)x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.,解析答案,返回,防范措施,错解 因y3x2，f(1)3. 错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q(1,1)为切点时，可求得切线方程为y3x2.,所以(x01)2(2x01)0，,综上，所求切线的方程为3xy20或3x4y10.,故切线方程为3xy20.,防范措施,防范措施,解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.下列说法中正确的有_. 和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线； 和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线； 曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点； 曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点.,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为_.,当x0时，其值趋近于8.即k8.,8,1,2,3,4,5,3.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10， 则a_，b_.,解析答案,解析 由题意，知ky|x01，a1. 又(0，b)在切线上，b1.,1,1,解析答案,1,2,3,4,5,故当x0时，其值趋近于x，y|x11.,45,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_.,2x4x04， 当x0时，其值趋近于44x0. 令4x0416，得x03，P(3,30).,(3,30),课堂小结,返回,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导函数yf(x)在xx0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,
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