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1.3.3 函数的最大(小)值与导数,第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,如果在函数 f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的xI，总有 ，那么称 f(x0)为函数的定义域上的最大值. 如果在函数 f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的xI，总有 ，那么称 f(x0)为函数在定义域上的最小值.,知识梳理 自主学习,知识点一 函数最值的概念,答案,f(x)f(x0),f(x)f(x0),答案,思考 函数的极值与最值的区别是什么？,答案 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值. 当连续函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处 f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.,1.求函数 yf(x)在a，b上的最值的步骤： (1)求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 . 2.函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间I上的最大(小)值.,知识点二 求函数的最值,答案,最大值,最小值,答案 没有.,(2)函数 f(x)ln x在1,2上有最值吗？,答案 有最大值ln 2，最小值0.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 求函数的最值,解析答案,例1 求下列各函数的最值： (1) f(x)x42x23，x3,2；,解 f(x)4x34x， 令f(x)4x(x1)(x1)0， 得x1，x0，x1. 当x变化时，f(x)及 f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取最小值60； 当x1或x1时，f(x)取最大值4.,解析答案,反思与感悟,(2) f(x)x33x26x2，x1,1.,解 f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23， f(x)在1,1内恒大于0， f(x)在1,1上为增函数. 故x1时，f(x)最小值12； x1时，f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2.,反思与感悟,一般地，在闭区间a，b上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数 f(x)不一定有最大值与最小值.,跟踪训练1 设函数 f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数 f(x)的最小值为12. (1)求a，b，c的值；,解析答案,解 f(x)为奇函数，f(x)f(x). 即ax3bxcax3bxc，c0. f(x)3ax2b的最小值为12， a0，b12. 又直线x6y70的斜率为 ， 因此 f(1)3ab6， 故a2，b12，c0.,(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值.,解析答案,题型二 含参数的函数的最值问题,解析答案,例2 已知a是实数，函数 f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 a为常数，求函数 f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解析答案,题型三 函数最值问题的综合应用,解析答案,解析答案,解 对 f(x)x3ax2bxc求导， 得 f(x)3x22axb.,f(x)3x2x2(3x2)(x1). 令 f(x)0，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解析答案,反思与感悟,(2)若对x1,2，不等式 f(x)c2恒成立，求c的取值范围.,而 f(2)2c，则 f(2)2c为最大值. 要使 f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)2c， 解得c1或c2. c的取值范围是(，1)(2，).,由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 设函数 f(x)2x39x212x8c， (1)若对任意的x0,3，都有 f(x)c2成立，求c的取值范围；,解 f(x)6x218x126(x1)(x2). 当x(0,1)时，f(x)0； 当x(1,2)时，f(x)0； 当x(2,3)时，f(x)0. 当x1时，f(x)取极大值 f(1)58c.又 f(3)98cf(1)， x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c. 对任意的x0,3，有 f(x)c2恒成立， 98cc2，即c1或c9. c的取值范围为(，1)(9，).,解析答案,(2)若对任意的x(0,3)，都有 f(x)c2成立，求c的取值范围.,解 由(1)知 f(x)f(3)98c， 98cc2， 即c1或c9， c的取值范围为(，19，).,解析答案,求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误,例4 求函数 f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值.,返回,易错易混,防范措施,解析答案,函数 f(x)在x0处取得最大值f(0)1，,错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误.,防范措施,函数 f(x)在x0处取得极大值 f(0)1，,又 f(1)2，f(2)1，,函数 f(x)的最大值是1，最小值是2.,防范措施,若连续函数yf(x)在a，b为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在a，b上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.函数 yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能,解析 据题 f(x)为常数函数，故 f(x)0.,A,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数 f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是( ) A.1，1 B.1，17 C.3，17 D.9，19,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,解析 f(x)3x23.令f(x)0， 即3x230，解得x1. 当x(，1)时，f(x)0； 当x(1,1)时，f(x)0； 当x(1，)时，f(x)0. 所以 f(x)在x1处取得极大值，f(x)极大值3， 在x1处取得极小值，f(x)极小值1. 而端点处的函数值f(3)17，f(0)1， 比较可得f(x)的最大值为3，最小值为17.,1,2,3,4,5,3.函数 f(x)x33x(|x|1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,解析答案,D,解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x(1,1)时，f(x)0， 所以 f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值， 故选D.,1,2,3,4,5,解析答案,A. B. C. D.,A,解析 f(x)ex(sin xcos x).,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知 f(x)2x36x2a(a为常数)在2,2上有最小值3，那么f(x)在2,2上的最大值是_.,43,解析 令f(x)6x212x0，解得x0或x2. 当x(2,0)时，f(x)0； 当x(0,2)时，f(x)0， x2，0,2对应的 f(x)的值分别为a40，a，a8. 因为a40a8a， 所以a40为最小值，a为最大值，则a403，a43， 故 f(x)在2,2上的最大值是43.,课堂小结,返回,1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：对函数进行准确求导；研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论. 2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题. 如：f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立即可，也可转化为h(x)f(x)m，这样就是求h(x)min0的问题. 若对某区间D上恒有f(x)g(x)成立，可转化为h(x)f(x)g(x)，求h(x)min0的问题.,
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