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第三章 导数及其应用,3.1 导数的概念及运算,考纲要求:1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x, y=x2, 的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.,2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数,是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k,即k=f(x0).,3.基本初等函数的导数公式,4.导数的四则运算法则:若f(x),g(x)存在,则有 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);,2,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( ) (2)f(x0)是导函数f(x)在x=x0处的函数值,与f(x0)表示的意义不相同. ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (4)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ( ),2,3,4,1,5,2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)等于( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0,答案,解析,2,3,4,1,5,3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是( ) A.0 s B.1 s末 C.2 s末 D.1 s末和2 s末,答案,解析,2,3,4,1,5,答案,解析,4.(2015河北保定调研)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为( ),2,3,4,1,5,答案,解析,5.(2015天津,文11)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数, f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为.,2,3,4,1,5,自测点评 1.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 2.f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0. 3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为k=f(x0)的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.,考点1,考点2,知识方法,易错易混,考点1导数的运算 例1分别求下列函数的导数:,答案,考点1,考点2,知识方法,易错易混,思考:函数求导应遵循怎样的原则?,解题心得:函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.,考点1,考点2,知识方法,易错易混,对点训练1 分别求下列函数的导数:,答案,考点1,考点2,知识方法,易错易混,考点2导数几何意义的应用(多维探究) 类型一 过函数图像上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考:求函数的切线方程要注意什么?,答案,考点1,考点2,知识方法,易错易混,类型二 已知切线方程(或斜率)求切点 例3设aR,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( ),思考:已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?,(2)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.,答案,解析,考点1,考点2,知识方法,易错易混,类型三 已知切线方程(或斜率)求参数的值 例4已知f(x)=ln x,g(x)= (m0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1),则m的值为( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-2,答案,解析,考点1,考点2,知识方法,易错易混,思考:已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么? 解题心得:1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.,考点1,考点2,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)(2015云南统一检测)函数 在点(1,-2)处的切线方程为( ) A.2x-y-4=0 B.2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x+y+1=0,答案,解析,考点1,考点2,知识方法,易错易混,(2)(2015郑州质量检测)已知曲线y= -3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.,答案,解析,考点1,考点2,知识方法,易错易混,(3)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .,答案,解析,考点1,考点2,知识方法,易错易混,1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则. 2.导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求该点处的导数值:k=f(x0); (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k; (3)已知过某点M(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0),求导数得出斜率k,列出切线方程代入已知点坐标求解或利用 求解.,考点1,考点2,知识方法,易错易混,1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)=axln x混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.,
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