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第二章 空间向量与立体几何,4 用向量讨论垂直与平行(一),1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 直线的方向向量和平面的法向量,答案,非零,方向向量,知识点二 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmabab . (2)线面平行 设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0 . (3)面面平行 设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuv .,答案,返回,a1a2，b1b2，c1c2(R),a1a2，b1b2，c1c2(R),a1a2b1b2c1c20,题型探究 重点突破,题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,3,1)，b(6,9,3)； 解 a(2,3,1)，b(6,9,3)，,解析答案,(2)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,1,4)，b(6,3,3)； 解 a(2,1,4)，b(6,3,3)， ab0且akb(kR)， a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.,解析答案,反思与感悟,uv3210，uv，即. (4)平面与的法向量分别是u(2，3,4)，v(4，2,1)； 解 u(2，3,4)，v(4，2,1)， uv0且ukv(kR)， u与v既不共线也不垂直，即和相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(0，8，12)，u(0,2，3). 解 a(0，8,12)，u(0,2，3)，,(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面. (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直. (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 设平面的法向量为(1,3,2)，平面的法向量为(2,6,k)，若，则k_. 解析 ，(1,3,2)(2,6,k)，,4,解析答案,反思与感悟,题型二 求平面的法向量,反思与感悟,设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，,取x2，则y1，z1，平面SDC的一个法向量为(2,1,1).,反思与感悟,求平面法向量的方法与步骤：,(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；,(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.,解析答案,跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量. 解 设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，,平面ABC的一个法向量为n(1,1,1).,解析答案,反思与感悟,题型三 利用空间向量证明平行关系 例3 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点.证明：PA平面EDB.,解析答案,反思与感悟,证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PDDCa. 方法一 连接AC，交BD于点G，连接EG，,因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，,而EG平面EDB，且PA平面EDB， 所以PA平面EDB.,解析答案,反思与感悟,方法二 设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，,反思与感悟,所以PA平面BDE.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.,解析答案,解 PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz，,则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0). 不妨令P(0,0,t)，,设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，,设点G的坐标为(0,0，m)，,利用向量法判断直线与平面平行,易错点,解析答案,返回,例4 已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_.,错解 因为ua(3,1,2)(2,2,2) 3(2)12220， 所以ua，所以l. 错解分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量ua可得l或l. 正解 因为ua(3,1,2)(2,2,2) 3(2)12220. 所以ua，所以l或l. 答案 l或l,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知a(2，4，5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1l2，则( ),D,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交,C,1,2,3,4,5,解析答案,3.若A(1,0,1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( ) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(3,0,1) 解析 A，B在直线l上，,A,1,2,3,4,5,解析答案,4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则( ) A.l B.l C.l D.l或l 解析 ab0，l或l.,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号),解析 AA1平面ABC，B1B平面ABC，,课堂小结,返回,1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.,
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