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第八节 函数与方程,1.函数的零点的概念 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.,2.函数零点与方程根的关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点. 3.函数零点的判断 (1)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,a,(3)有关函数零点常见的结论 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点; 连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; 连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号也可能不变号. 4.二分法的概念 对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,5.用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚 (1)确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算 f(c) ; 若 f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若 f(a)f(c)0 ,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若 f(c)f(b)0 ,则令a=c(此时零点x0(c,b). (4)判断是否达到精确度:即若 |a-b| ,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4). 6.常用的数学方法与思想 函数零点个数的判断方法,函数与方程、转化与化归、数形结合思想.,1.判断下列说法是否正确(打“”或“”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (1) (2)若函数y=f(x),xD在区间(a,b)D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.( ) (2) (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,且f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内有且仅有一个零点.( ) (3),2.(2015安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 2.A 【解析】y=cos x是偶函数且有无数多个零点,y=sin x为奇函数,y=ln x既不是奇函数也不是偶函数,y=x2+1是偶函数,但没有零点. 3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为( ) A.2 B.3 C.1 D.4 3.A 【解析】构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象,可知有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2. 4.若函数f(x)=2x+m存在零点,则m的取值范围是 . 4.(-,0) 【解析】由于y=2x在x轴上方,当x越小时,图象越接近y轴,所以m(-,0)时图象与x轴有且仅有一个交点,故m的取值范围是(-,0).,【解题思路】函数y=x2和y=x3的交点为(0,0),(1,1),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则f(x)-b=0有两个根,即直线y=b与y=f(x)有两个交点.作出y=x2与y=x3的图象,如图(1),观察图象,可知当a1时,存在实数b使f(x)-b=0有两个根,如图(3);当0a1时,f(x)-b=0只有一个根或无根,如图(4).综上,当a1时,g(x)=f(x)-b有两个零点.,【参考答案】 (-,0)(1,+),若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点, 则a的取值范围是 .,【变式训练】,(2015福州八中质检)对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)0,f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内 ( ) A.一定有零点 B.一定没有零点 C.可能有两个零点 D.至多有一个零点 C 【解析】由于函数f(x)=x2+mx+n,图象开口向上,当=m2-4n0时,图象与x轴有两个交点,结合题干条件知选项C正确.,命题角度2:利用函数的零点研究函数的根的大小或方程(不等式)的解 典例4 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),若,()是方程f(x)=0的两个根,则实数a,b,之间的大小关系是( ) A.ab B.ab C.ab D.ab 【解题思路】利用g(x)=(x-a)(x-b)的零点为a,b,作出图象,利用平移变换,数形结合思想考查.令g(x)=(x-a)(x-b),显然函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是a,b,而函数f(x)=(x-a)(x-b)+2的两个零点是,又函数f(x)的图象是将函数g(x)=(x-a)(x-b)图象向上平移2个单位得到,因此数形结合易知ab. 【参考答案】 B,【变式训练】 1.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( ) A.00,f(a)=0,由零点的存在性定理知,a(0,1),同理可知,b(1,2).由于函数f(x)和g(x)都在定义域上单调递增,则g(a)f(1)=e-10,于是有g(a)0f(b).,分类讨论思想在函数零点问题中的应用 分类讨论思想在解决函数的零点与定区间的关系中起关键作用,这也是学生最易出错的地方. 典例 (2014天津高考)已知函数f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 . 【解题思路】方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,即函数y=f(x),y=a|x-1|恰有4个互异的交点.当a0.当y=a(x-1)与y=x2+3x的图象相切时,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有两个相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1(舍去)或9,所以当a9时满足题意;当y=-a(x-1)与y=-x2-3x的图象相切时,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有两个相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1或9(舍去),所以当0a1时满足题意,故实数a的取值范围是(0,1)(9,+). 【参考答案】 (0,1)(9,+),【针对训练】,
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