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第五章 数 列,第3节 等比数列及其前n项和,1理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等比数列与指数函数的关系.,要点梳理 1等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示 2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.,3等比中项 若_，那么G叫做a与b的等比中项 质疑探究：b2ac是a、b、c成等比数列的什么条件？ 提示：必要而不充分条件，因为b2ac时，不一定有a、b、c成等比数列(如a0，b0，c1)，而a、b、c成等比数列，则必有b2ac.,G2ab(ab0),4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an am _，(n，mN) (2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN)，则_.,qnm,akalaman,6等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_.,qn,基础自测 1给出下列命题： 满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列 数列an是公比q1的等比数列，则nan是等比数列 如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列 如果数列an为等比数列，则数列lnan是等差数列 其中错误的命题是( ),A B C D 解析 错误q0时an不是等比数列 错误. 若an是公比q1的等比数列，则nan不是等比数列 错误如数列1，1,1，1，. 错误数列an中可能有小于零的项故选D. 答案 D,答案 D,2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于( ) A7 B5 C5 D7,答案 D,4(2015扬州中学期中)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_.,答案 6,5(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.,答案 2 2n12,考向一 等比数列基本量的计算 例1 (1)(2013新课标高考全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1( ),(2)(2015荆州市质检)设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2a52am，则m_. 思路点拨 建立关于a1和q的方程(组)求所需要的量,答案 (1)C (2)8,拓展提高 (1)等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和q是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,思路点拨 构造an1an与anan1的关系用累加法求an.,(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均为不为0的常数，nN)，则an是等比数列 (4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列 提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可,考向三 等比数列的性质及应用 例3 (1)(2015辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于( ) A16 B8 C4 D2,拓展提高 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：,规范答题5 等差、等比数列综合问题的规范答题 典例 (本小题满分12分)(2013新课标高考全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)求a1a4a7a3n2. 审题视角 (1)先设出公差d，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；(2)所求的和构成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前n项和公式求解,满分展示 解 (1)设an的公差为d，由题意得aa1a13， 即(a110d)2a1(a112d)(第1步)(3分) 于是d(2a125d)0. 又a125，所以d0(舍去)，d2. 故an2n27.(第2步)(3分),【答题模板】 第一步：依等差数列设未知量，依等比数列建立等式关系 第二步：求d，求通项 第三步：判断a3n2为等差数列 第四步：依据公式求和 提醒：本题求等差数列an，就设等差数列中的未知量，用等比数列建立关于d的方程，分清两个使用层次 在第二问中，必须指明数列a1，a4，a7，a3n2所具有的特点,(2)由bn3n1，知an(2n1)3n1，于是数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1,3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，将两式相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n， 所以Sn(n1)3n1.,思维升华 【方法与技巧】,【失误与防范】,1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误,
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