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,立体几何,第 七 章,第44讲 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直,栏目导航,非零,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合( ) (4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行( ),C,3已知直线l的方向向量v(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_. 解析 v(1,2,3)，u(5,2，3)，15223(3)0， vu，la或l. 4设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_. 解析 当v(3，2,2)时，uv，则，当v(4，4，10)时，uv，则.,la或l,5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,异面垂直,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算,一 利用空间向量证明平行问题,【例1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG. 证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0),二 利用空间向量证明垂直问题,证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 (2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可,【例2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD,【例3】 如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明APBC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC,三 利用空间向量解决探索性问题,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”,【例4】 如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD (1)求证：BDAA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1.若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由,2如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,3如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角 (1)求证：CM平面PAD； (2)求证：平面PAB平面PAD,4在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点 (1)求证：EFCD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论,错因分析：写准点的坐标是关键，要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标利用ab证明直线平行需强调两直线不重合，证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外,易错点 坐标系建立不恰当、点的坐标出错,【例1】 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02) (1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ； (2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由,
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