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,第十章 计数原理和概率,1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 请注意 两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重要的地位因此它是高考中必考的一个知识点,1分类计数原理的推广 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的办法，那么完成这件事共有N_种不同的方法,m1m2mn,2分步计数原理的推广 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法,m1m2mn,1教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为( ) A6 B23 C42 D44 答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，由分步计数原理可知走法种数为238.,2已知1,2X1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X共有( ) A2个 B6个 C4个 D8个 答案 D,3若集合P1,2,3，Q2,3,4,5，定义PQ(a，b)|aP，bQ，则集合PQ中元素的个数为( ) A4 B6 C12 D20 答案 C 解析 确定集合PQ中元素(a，b)需要分两步： 第一步：确定a，有3种不同方法； 第二步：确定b，有4种不同方法 由分步计数原理可知元素个数有3412(个) 选C,4(2015衡水调研卷)为了应对乌克兰危机，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_ 答案 182,5(2015上海普陀区期末)2015年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为_ 答案 168,例1 (1)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 【解析】 方法一 按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8765432136(个),题型一 两个计数原理,方法二 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有： 1234567836(个) 【答案】 36,(2)已知a1,2,3，b0,1,3,4，r1,2，则方程(xa)2(yb)2r2所表示的不同的圆的个数有_ 【解析】 a1,2,3，a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，共有34224个不同的圆 【答案】 24,探究1 利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定如(1)题中完成这件事分4类即可；(2)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终,(1)设x，yN*，直角坐标平面中的点为P(x，y) 若xy6，这样的P点有_个 若1x4,1y5，这样的P点又有_个 【解析】 当x1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，不同P点共有5432115(个) x有1,2,3,4这4个不同值，而y有1,2,3,4,5这5个不同值，共有不同P点4520(个) 【答案】 15 20,思考题1,(2)设集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM，P可以表示 平面上多少个不同的点？ 第二象限内的多少个点？ 不在直线yx上的多少个点？ 【思路】 要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标，可分两步完成，需用分步计数原理,【解析】 分两步：第一步，确定横坐标6种方法，第二步确定纵坐标有6种方法，根据分步计数原理得N6636. 分两步；第一步确定横坐标(小于0)有3种方法；第二步确定纵坐标(大于0)有2种方法，根据分步计数原理得N326. 分两步：第一步确定横坐标有6种方法；第二步确定纵坐标有5种方法根据分步计数原理得N6530. 【答案】 36 6 30,例2 (1)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有_种不同的夺冠情况 【答案】 45,(2)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同的住店方法？ 【解析】 安排第1名旅客有3个房间(3种方法) 安排第2名旅客也有3个房间(3种方法)，. 共有3333335(种)不同的住店方法 【答案】 35,探究2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住店法,(1)三封信投入到4个不同的信箱中，共有_种不同的投法 【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完成，故分三步： 第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法 第二步，将第二封信投进信箱，有4种方法 第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法 由分步计数原理得共有44464种不同投法 方法二：本题相当于3个人住4间店 【答案】 64,思考题2,(2)动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？ 【解析】 方法一：因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4444364种 方法二：本题相当于3个人住4间店 【答案】 64,例3 (1)(2013山东理)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D279 【解析】 由分步乘法计数原理知：用0,1，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252，故选B. 【答案】 B,题型二 两个原理的应用,(2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答),【答案】 140,探究3 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可能会采取分类的思想求另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步,(1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A30种 B35种 C42种 D48种,思考题3,【答案】 A,(2)若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A12种 B18种 C24种 D36种,【答案】 A,例4 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(用数字作答),方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力本题能较深刻地测试逻辑思维能力 因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑区域1有4种涂法若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为432248种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4321124种因此涂法共有482472种 【答案】 72,探究4 做为两个计数原理应用之一的“涂色问题”，曾是高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓,若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有_种 【解析】 方法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步,思考题4,当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法 (1)当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3212112(种) (2)当3与1不同色时，3有1种，当4与1同色时，4有1种，5有2种；当4与1不同色时，4有1种，5有1种则此时有321(1211)18(种) 综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种,【答案】 30,对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理,1从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( ) A10 B15 C20 D25 答案 D 解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5525(种),2从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A5 B4 C6 D8 答案 D,3(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有( ) A24对 B30对 C48对 D60对 答案 C 解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解,4在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有_种 答案 10 解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)，共10种,5已知数列an是公比为q的等比数列，集合Aa1，a2，a10，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为_ 答案 24,6.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有_种 答案 30,
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