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6.3 等比数列及其前n项和,考纲要求:1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.,1.等比数列 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0). (3)等比中项:如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,我们称G为a,b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=abG= 2.等比数列的通项公式 (1)通项公式:若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1(a10,q0); (2)通项公式的推广:an=amqn-m.,3.等比数列的前n项和公式 (1)当q=1时,Sn=na1; 4.等比数列及前n项和的性质 (1)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman. (2)若an为等比数列,则ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm.,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)满足an+1=qan(nN+,q为常数)的数列an为等比数列. ( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab. ( ) (3)等比数列中不存在数值为0的项. ( ) (4)在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+q. ( ) (5)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 . ( ),1,2,3,4,5,答案,解析,2.(2015课标全国,文9)已知等比数列an满足a1= ,a3a5=4(a4-1),则a2=( ),1,2,3,4,5,3.设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015课标全国,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n= .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.在等比数列an中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q1,则a3= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值. 2.在等比数列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10;若aman=apaq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有 3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1和q1两种情况讨论.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1等比数列的基本运算 例1(1)(2015福建,文16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些? 解题心得:解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和. (3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)设数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,答案,解析,(2)(2015浙江,文10)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点2等比数列的判定与证明 例2已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列; (2)求数列an的通项公式.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法? 解题心得:1.证明数列an是等比数列常用的方法: (1)定义法,证明 (n2,q为常数); (2)等比中项法,证明 . (3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN+),则an是等比数列. 2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练2 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5. (1)求数列bn的通项公式; (2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列 是等比数列.,(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5. bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2(d=-13舍去). 故bn的第3项为5,公比为2, 由b3=b122,即5=b122,解得b1=,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点3等比数列性质的应用(多维探究) 类型一 等比数列项的性质的应用 例3(1)在等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)(2015长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .,思考:经常用等比数列的哪些性质化简解题过程?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,类型二 等比数列前n项和的性质的应用 例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:本题应用什么性质求解比较简单? 解题心得:1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质: (1)通项公式的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p,m,n,pN+)及akal=aman(k+l=m+n,m,n,k,lN+). 2.对已知条件为等比数列前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,答案,解析,对点训练3 (1)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20= .,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 ,则公比q= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点4等差数列与等比数列的综合问题 例5(2015四川,理16)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式;,(2)设数列 的前n项和为Tn,求Tn.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 解题心得:等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练4 (2015北京,文16)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,3.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0. 2.求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.,审题答题指导如何理解条件和转化条件 典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列an的通项公式; (2)对任意mN+,将数列an中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm. 审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式,(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范围.,解:(1)设等差数列an的公差为d, 由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28. 而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9. 又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8. (2)对任意mN+,9m9n-892m,则9m+89n92m+8, 而nN+, 由题意,可知 . 于是Sm=b1+b2+bm,
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