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3.4 定积分与微积分基本定理,考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.,1.定积分的定义和相关概念 一般地,给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),其图像如图所示. 将a,b区间分成n份,分点为:a=x0x1x2xn-1xn=b. 第i个小区间为xi-1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最大,设S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn. 在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最小,设s=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.,如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i,S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趋于该常数A,我们称A是函数y=f(x)在区间a,b上的定积分,记作 其中叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数.,2.定积分的几何意义 (1)当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分 的几何意义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影部分).,(2)一般情况下,定积分 的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2.定积分 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案,解析,2,3,4,1,5,3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015湖南,理11) = .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)为 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取极限”.定积分只与积分区间和被积函数有关,与积分变量无关. 2.由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算. 3.重视定积分性质在求值中的应用.区分定积分与曲边梯形面积间的关系,定积分可正、可负,也可以为0,是曲边梯形面积的代数和;而曲边梯形面积非负.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1定积分的计算 例1计算下列定积分:,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:计算定积分有哪些步骤? 解题心得:计算定积分的解题的步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2利用定积分求平面图形的面积 例2(1)由曲线y= ,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .,答案,解析,思考:用定积分求平面图形的面积的步骤有哪些? 解题心得:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出交点坐标,并确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3定积分在物理中的应用 例3(1)从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为 J(x的单位:m;力的单位:N).,答案,解析,思考:利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么? 解题心得:利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)一物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 6 s间的运动路程为 m.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)一物体受到与它运动方向相反的力F(x)= ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时,F(x)所做的功等于 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.求定积分的方法: (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: 求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,3.定积分在物理中的两个应用: (1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程 (2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.,
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