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最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解,第8讲 函数与方程,1函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点 (2)函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_,知 识 梳 理,f(x)0,零点,x轴,(3)零点存在性定理 如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 2二分法 (1)定义：对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,一分为二,零点,(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 求区间(a，b)的中点c； 计算f(c)； ()若f(c)0，则c就是函数的零点； ()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； ()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a (或b)；否则重复.,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0. ( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点 ( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ),诊 断 自 测,答案 C,3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是( ),A.(1，0) B(0，1) C(1，2) D(2，3) 解析 记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数h(x)的零点属于(0，1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0，1)，故选B. 答案 B,4(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( ),答案 A,答案 2,考点一 函数零点的判断与求解 【例1】 (1)(2014唐山一模)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间 ( ) A(1，0) B(0，1) C(1，2) D(2，3) (2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为 ( ) A1，3 B3，1，1，3,解析 (1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(1)e1(1)45 e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A不正确； 同理可验证B，D不正确，对于C项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1，2),答案 (1)C (2)D,规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根,答案 D,(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.,图1,图2,f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当m1e22e，即me22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，),规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用,(2)画出函数f(x)的图象如图所示， 观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D. 答案 (1)C (2)D,考点三 与二次函数有关的零点问题 【例3】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组,【训练3】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围 解 法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系， 得(a2)(a21)10， 即a2a20，2a1.,法二 函数图象大致如图，则有f(1)0， 即1(a21)a20， 2a1. 故实数a的取值范围是(2，1),思想方法 1判定函数零点的常用方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点 3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题,易错防范 1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象,
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