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第三节 等比数列及其前n项和,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)等比数列及其相关概念:,前面,一项,同一个常数,常数,G2=ab,(2)等比数列的通项公式: 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_ (nN*). (3)等比数列的前n项和公式: 当公比q=1时,Sn=_. 当公比q1时,Sn= = .,an=a1qn-1,na1,2.必备结论 教材提炼 记一记 等比数列的常见性质 (1)项的性质： an=amqn-m; am-kam+k=am2(mk,m,kN*). a.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则aman=_=ak2;,apaq,b.若数列an,bn(项数相同)是等比数列，则an,|an|, an2,anbn, (0)仍然是等比数列； c.在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk.,(2)和的性质: Sm+n=Sn+qnSm; 若等比数列an共2k(kN*)项,则 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,_仍 成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,_不一定构 成等比数列.,S3n-S2n,S3n-S2n,(3)等比数列an的单调性: 满足 时，an是_数列； 满足 时，an是_数列； 当 时，an为_数列； 当q0时，an为摆动数列.,递增,递减,常,(4)其他性质: an为等比数列，若a1a2an=Tn,则 成等比数 列； 当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lg an是公差为 lg q的等差数列.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:基本量运算中的消元法、待定系数法、整体代入法、等比数列的四个判定方法. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、转化与化归. (3)记忆口诀:等差等比两数列,通项公式n项和.数列问题多变幻,方程化归整体算.归纳思想非常好,编个程序好思考.一算二看三联想,猜测证明不可少.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.( ) (2)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.( ) (3)G为a,b的等比中项G2=ab.( ),(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.( ) (5)如果数列an为等比数列,则数列lnan是等差数列.( ) (6)数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= ( ),【解析】(1)错误.根据等比数列的定义可知,把“常数”改为“同一非零常数”后结论正确. (2)错误.q=0时an不是等比数列. (3)错误.G为a,b的等比中项G2=ab; 反之不真,如a=0,b=0,G=0. (4)错误,如数列an为1,-1,1,-1, 则数列bn为0,0,0,0,不是等比数列.,(5)错误.等比数列an中可能有小于零的项,而当an0时lnan无意义. (6)错误.当a=1时结论不成立. 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P53T1(2)改编)在等比数列an中，若a10,a2=18,a4=8, 则公比q等于( ),【解析】选C.方法一：由 解得 又a10，所以 所以,(2)(必修5P62T2改编)设等比数列an的前n项和为Sn,若 则 =_. 【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列，则(S6-S3)2=S3(S9-S6), 由 则 =S3(S9-S6)， 所以 所以 答案：,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014北京高考)设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选D.当a11时,an是递减数列; 当an为递增数列时,a10,q1. 因此,“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.,(2)(2014天津高考)设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) 【解析】选D.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22=S1S4， 即(a1+a11)2= 解得,(3)(2015洛阳模拟)设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q为_.,【解析】若q=1，则Sn=na1, Sn+1=(n+1)a1,Sn+2=(n+2)a1, 显然2SnSn+1+Sn+2，不合题意，所以q1. 由题意知2Sn=Sn+1+Sn+2， 即 由于 所以2-2qn=2-qn+1-qn+2, 而qn0,所以q2+q-2=0.而q1，所以q=-2. 答案：-2,(4)(2014广东高考)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20= . 【解析】方法一:各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20, 则a1a20=e5, lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.,方法二:各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20,则a1a20=e5, 设lna1+lna2+lna20=S, 则lna20+lna19+lna1=S, 2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50,考点1 等比数列的基本运算 【典例1】(1)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=( ) (2)(2014福建高考)在等比数列an中，a2=3,a5=81. 求an. 设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn.,【解题提示】(1)利用S3=a1+a2+a3,求出q2,再解方程求得a1. (2)利用等比数列通项公式求出首项和公比.由an求出bn的通项公式,得出bn为等差数列,利用等差数列前n项和公式求前n项和.,【规范解答】(1)选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1, 即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得 (2)设an的公比为q,依题意得 解得 因此，an=3n-1. 因为bn=log3an=n-1, 所以数列bn为等差数列，其前n项和,【互动探究】若本例题(1)已知条件不变，求其前n项和Sn. 【解析】由本例(1)知 q=3,所以 当q=3时， 当q=-3时， 因此,【规律方法】解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn,一般可以 “知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)数形结合的思想.通项an=a1qn-1可化为 因此an是关于n 的函数，点(n,an)是曲线 上一群孤立的点. (3)分类讨论的思想.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨 论，当q=1时，an的前n项和Sn=na1;当q1时，an的前n项和,(4)整体思想.应用等比数列前n项和公式时，常把qn或 当成整 体进行求解. (5)等比数列设项技巧 对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为，x,xq，；连续偶数个项成等比数列，可设为， xq,xq3， (注意：此时公比q20，并不适合所有情况)这样即可减少未知量 的个数，也使得解方程较为方便.,【变式训练】等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列. (1)求an的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn.,【解析】(1)因为S1，S3，S2成等差数列， 所以a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a10，故2q2+q=0，又q0，从而 (2)由已知可得 故a1=4, 从而,【加固训练】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,且数列Sn是以2为公比的等比数列. (1)求数列an的通项公式.(2)求a1+a3+a2n+1.,【解析】(1)因为S1=a1=1，且数列Sn是以2为公比的等比数列， 所以Sn=2n-1. 又当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2，故 (2)因为a3,a5,，a2n+1是以2为首项、4为公比的等比数列，所以 a3+a5+a2n+1= 所以a1+a3+a2n+1=,考点2 等比数列的判定与证明 【典例2】(1)(2013福建高考)已知等比数列an的公比为q,记bn= am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m (m,nN*),则以下结论一定正确的是( ) A.数列bn为等差数列,公差为qm B.数列bn为等比数列,公比为q2m C.数列cn为等比数列,公比为 D.数列cn为等比数列,公比为,(2)(2015镇海模拟)已知数列an和bn满足：a1=,an+1= bn=(-1)n(an-3n+21)，其中为实数，n为正整数. 对任意实数，证明：数列an不是等比数列； 试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.,【解题提示】(1)判定一个数列是等差或等比数列,可利用作差法或作商法,看看结果是不是常数. (2)只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可; 若判断bn为等比数列,则必须证明对任意的正整数n,这个数列都符合等比数列的定义.,【规范解答】(1)选C.因为bn=am(n-1)(q+q2+qm)， 所以 = (常数).bn+1-bn不是常数. 又因为cn=(am(n-1)mq1+2+m= 所以 (常数). cn+1-cn不是常数，故选C.,(2)假设存在一个实数,使an是等比数列，则有a22=a1a3， 即 故 即9=0，矛盾，所以an不是等比数列. 因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=,又b1=-(+18)，所以当=-18时， bn=0(nN*)，此时bn不是等比数列； 当-18时，b1=-(+18)0，由 可知bn0，所以 (nN*).故当-18时， 数列bn是以-(+18)为首项， 为公比的等比数列. 【易错警示】解答本例第(2)题容易出现忽略对等比数列各项均不为零的讨论而致误.,【规律方法】等比数列的判定方法 (1)定义法：若 =q(q为非零常数，nN*)或 =q(q为非零常数且n2,nN*)，则an是等比数列. (2)中项公式法：若数列an中，an0且an+12=anan+2(nN*)，则数列an是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*)，则an是等比数列. (4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.,提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.,【变式训练】已知数列an的前n项和为Sn,数列bn中,b1=a1, bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n,设cn=an-1. (1)求证:cn是等比数列. (2)求数列bn的通项公式.,【解析】(1)因为an+Sn=n, 所以an+1+Sn+1=n+1. -得an+1-an+an+1=1, 所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1, 所以 所以an-1是等比数列.,又a1+a1=1,所以 因为首项c1=a1-1= 从而cn0， 所以公比 所以cn是以 为首项，以 为公比的等比数列.,(2)由(1)可知 所以 所以当n2时，bn=an-an-1= 又 代入上式也符合. 所以,【加固训练】已知单调递增的正项等比数列an中,a5-a1=15, a4-a2=6, (1)求an,Sn. (2)求证:S7,S14-S7, S21-S14成等比数列. (3)若数列bn满足bn=2an,在直角坐标系中作出bn=f(n)的图象. (4)若数列cn满足 其前n项和为Tn,试比较Tn与2的大小.,【解析】(1)设递增的正项等比数列an的公比为q，依题设有a5-a1 =a1(q4-1)=15,a4-a2=a1q(q2-1)=6，两式相除，得 即2q2-5q+2=0，解得q=2或 因为an是递增的正项等比数列，故q=2，代入a1(q4-1)=15,得a1=1. 所以an=a1qn-1=2n-1, 所以an=2n-1,Sn=2n-1.,(2)由(1)知S7=27-1,S14=214-1,S21=221-1, 所以S14-S7=27(27-1),S21-S14=214(27-1), 这样有(S14-S7)2=214(27-1)2=S7(S21-S14), 故S7,S14-S7,S21-S14成等比数列. (3)f(n)=2n,则bn=f(n)的图象是函数f(x)=2x的图象上的一列孤立的点.如图所示.,(4)cn= 则Tn=c1+c2+cn=,考点3 等比数列性质的应用 知考情 等比数列的性质是高考重点考查的内容之一,题型有选择题、填空题,近几年也与方程、不等式、三角函数等内容交汇考查,主要考查通项公式的变式、等比中项的变形、前n项和公式的变形等求值运算或判断证明等问题.,明角度 命题角度1：根据等比数列的性质求基本量 【典例3】(1)(2015济南模拟)在各项均为正数的等比数列an 中， 则a32+2a2a6+a3a7=( ) (本题源于人A教材必修5P58T2) A.4 B.6 C.8 D.,(2)(2015衡水模拟)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16,【解题提示】(1)利用等比数列的性质,将所求式中的a2a6替换为a3a5,a3a7替换为a52,然后将所求式配方转化为(a3+a5)2求值. (2)利用等比数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n仍成等比数列的性质解方程求值.,【规范解答】(1)选C.在等比数列中，a3a7=a52,a2a6=a3a5，所以 a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2= (2)选B.由等比数列性质得, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列, 则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), 所以(S2n-2)2=2(14-S2n).又S2n0,得S2n=6, 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n), 所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.,命题角度2：根据等比数列的性质判断单调性、求最大(小)项 【典例4】(2013天津高考)已知首项为 的等比数列an不是递减 数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式. (2)设 (nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.,【解题提示】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列求等比数列an的公比,然后写出其通项公式. (2)写出等比数列an的前n项和Sn,表示 分n为奇数或偶数讨论其最值.,【规范解答】(1)设等比数列an的公比为q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等 差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是 又an不是递减数列且 所以 故等比数列an的通项公式为,(2)由(1)得 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以 故 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以 故 综上，对于nN*，总有 所以数列Tn最大项的值为 最小项的值为,悟技法 应用等比数列性质解题的类型及思路 (1)求基本量的值 灵活运用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式与性质,以及函数与方程的思想、整体思想、分类讨论思想等思想方法求解. (2)判断单调性,求最大(小)项 根据题目条件,认真分析,确定首项与公比,发现具体的变化特征,利用数列相邻两项的大小关系,从而判断单调性或利用不等式组求解最大(小)项问题.,通一类 1.(2015江西七校联考)设各项都是正数的等比数列an,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 【解析】选A.依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S200,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,所以(S40-S30)(S20-S10)=(S30-S20)2,解得S40=150.,2.(2015杭州模拟)已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN*), 且a2+a4+a6=9,则 的值是( ) 【解析】选B.由log3an+1=log3an+1(nN*),得log3an+1-log3an=1, 即 解得 所以数列an是公比为3的等比数列， 因为a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以a5+a7+a9=933=35.所以,3.(2015重庆模拟)在各项均为正数的等比数列an中, (a1+a3)(a5+a7)=4a42,则下列结论中正确的是( ) A.数列an是递增数列 B.数列an是递减数列 C.数列an是常数列 D.数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列,【解析】选C.各项均为正数的等比数列an中，因为(a1+a3)(a5+a7) =4a42成立，即a1a5+a1a7+a3a5+a3a7=4a42成立. 利用等比数列的定义和性质化简可得a32+a42+a42+a52=4a42,进一步化简得a32+a52=2a42. 设公比为q,则得a12q4+a12q8=2a12q6，化简可得1+q4=2q2,即(q2-1)2=0,所以q2=1,故q=1(由于各项均为正数的等比数列，故q=-1舍去).故此等比数列是常数列.,规范解答7 函数在研究数列问题中的应用 【典例】(12分)(2015桂林模拟)已知：函数f(x)在(-1,1)上有定 义， 且对x，y(-1,1)有f(x)+f(y)= (1)试判断函数f(x)的奇偶性. (2)对于数列xn，有 试证明数列f(xn)成等 比数列. (3)求证：,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)在f(x)+f(y)= 中， 令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0),1分 再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0)， 所以f(0)=0 2分 所以f(-x)=-f(x)，又函数f(x)的定义域为(-1，1)， 则函数f(x)为奇函数. 3分,(2)由xn+1= 得 因为 等号当且仅当xn+1=1时成立，当xn+1=1 时，根据 得xn=1，进而xn-1=xn-2=x1=1，与已知 矛盾，故xn+11,同理xn+1-1，故 所以 5分 所以f(xn+1)= =f(xn)+f(-xn+1),因为函数f(x)为奇函数，,所以f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),2f(xn+1)=f(xn). =f(xn+1)+f(xn+1)=2f(xn+1). 因为xn0,否则与 矛盾， 所以f(xn)f(0)=0，所以 7分 因为 所以f(xn)是以-1为首项， 为公比的等比数列.9分,(3)根据(2)可得f(xn)= 因为 =f(x1)+f(x2)+f(xn) 10分,11分 又因为nN*，所以 所以 12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.解决数列与函数的两类综合问题的一般思路 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和,对式子化简变形.,2.解决数列与函数综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点. (2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题. (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,
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