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专题五 几何探究问题,几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.,几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题. 常用的解题策略: 1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路; 3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等; 4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.,题型2,题型1,题型3,题型1 与全等三角形有关的探究 典例1 (2016山东泰安)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且DEC=DCE,若A=60(如图),求证:EB=AD; (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图),(1)的结论是否成立,并说明理由; (3)若将(1)中的“若A=60”改为“若A=90”,其他条件不变,则 的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程),题型2,题型1,题型3,【解析】(1)作DFBC交AC于F,由已知得ABC和ADF均为等边三角形,则AD=DF,利用AAS证明DBECFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DFBC交AC的延长线于点F,同(1)证出DBECFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DFBC交AC于点F,同(1)得:DBECFD,得出EB=DF,证出ADF是等腰直角三角形,得出DF= AD,即可得出结果.,题型2,题型1,题型3,【答案】 (1)作DFBC交AC于点F,如图1所示. ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE, ABC是等腰三角形,A=60, ABC是等边三角形,ABC=ACB=60, DBE=120,ADF=AFD=60=A, ADF是等边三角形,DFC=120,AD=DF, DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD, DBECFD(AAS),EB=DF,EB=AD.,题型2,题型1,题型3,(2)EB=AD成立. 理由如下: 作DFBC交AC的延长线于点F,如图2所示. 由(1)得AD=DF,FDC=ECD,FDC=DEC,ED=CD, 又DBE=DFC=60, DBECFD(AAS),EB=DF, EB=AD.,题型2,题型1,题型3,理由如下: 作DFBC交AC于点F,如图3所示: 同(1)得:DBECFD(AAS),EB=DF, ABC是等腰直角三角形,DFBC, ADF是等腰直角三角形,题型2,题型1,题型3,题型2 与相似三角形有关的探究 典例2 (2016内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF. (1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3SEDF,求AE的长. (2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MFCA. 试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论; 求EF的长.,题型2,题型1,题型3,题型2,题型1,题型3,题型2,题型1,题型3,【答案】 (1)如图1,ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处, EFAB,AEFDEF, SAEFSDEF, S四边形ECBF=3SEDF,SABC=4SAEF, 在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3,题型2,题型1,题型3,(2)四边形AEMF为菱形.理由如下: 如图2,ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处, AE=EM,AF=MF,AFE=MFE, MFAC,AEF=MFE, AEF=AFE,AE=AF, AE=EM=MF=AF, 四边形AEMF为菱形. 连接AM交EF于点O,如图2, 设AE=x,则EM=x,CE=4-x, 四边形AEMF为菱形,EMAB, CMECBA,题型2,题型1,题型3,(3)如图3,作FHBC于点H, ECFH,NCENHF, 设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x, FHAC,BFHBAC,题型2,题型1,题型3,题型2,题型1,题型3,题型3 与全等和相似三角形有关的探究 典例3 (2016湖北黄石)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2. (1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:ADFABC. (2)如图2,在(1)的条件下,若=45,求证:DE2=BD2+CE2. (3)如图3,若=45,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.,题型2,题型1,题型3,【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得DAE=FAE,AD=AF,再得出BAC=DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AD=AF,再求出BAD=CAF,然后利用边角边证明ABD和ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,ACF=ABD,然后求出ECF=90,最后利用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出BAD=CAF,再结合(2)即可.,题型2,题型1,题型3,【答案】 (1)D,F关于直线AE对称, DE=EF, DAE=FAE=, DAF=2=BAC, 又AB=AC,AD=AF,ADFABC. (2)DAF=2=BAC, DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF, 又AB=AC,AD=AF, BADCAF, BD=CF, 且ACF=ABD=45,即ECF=90, 在ECF中,结合已证明的得DE2=BD2+CE2.,题型2,题型1,题型3,(3)解法1:将CAE顺时针旋转90得BAF,连接DF,如图2所示. BF=CE, AF=AE, ACE=135=ABF,ABC=45, FBD=90, 即DF2=BF2+BD2, 由旋转的性质,BAF=CAE, BAF+FAC=CAE+FAC=2, DAF=FAE-DAE=2-=,AF=AE, 又AD为公共边, DAFDAE,即DF=DE. 将代入式, 得DE2=BD2+CE2.,题型2,题型1,题型3,解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示. AD=AF,DE=EF, DAE=FAE=, DAF=2=BAC, 即DAF-DAC=BAC-DAC, BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF. BADCAF, BD=CF, 且ACF=ABD=45, DCF=DCA+ACF=90, CFCE,EF2=FC2+CE2, 将代入得DE2=BD2+CE2.,2,1,3,4,5,6,7,8,1.(1)问题发现 如图1,ABC和ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空: ACE的度数为 ; 线段AC,CD,CE之间的数量关系为 . (2)拓展探究 如图2,ABC和ADE均为等腰直角三角形, BAC=DAE=90,点D在边BC的延长线上, 连接CE,请判断ACE的度数及线段AC,CD,CE 之间的数量关系,并说明理由. (3)问题解决 如图3,在RtABC中,AC=3,BC=5,ACB=90,若点P满足PA=PB,APB=90,请直接写出线段PC的长度.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)ABC为等边三角形, AB=AC=BC,BAC=60, ADE为等边三角形, AD=AE,DAE=60, BAC+DAC=DAE+DAC,即BAD=CAE, ABDACE(SAS), ACE=B=60. ABDACE,BD=CE, BC=BD-CD=CE-CD, AC=CE-CD.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)ABC和ADE均为等腰直角三角形, AB=AC,BAD=CAE,AD=AE, ACEABD(SAS), ACE=B=45,BD=CE,即BC+CD=CE, BC=CE-CD,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,如图(2),点C,P在AB的异侧时, 过点A作ADPC于点D, ACB=APB=90,A,B,P,C四点共圆, ACD=ABC=45,APD=ABC,2,1,3,4,5,6,7,8,2.如图1,在平行四边形ABCD中,AEBC于点E,E恰为BC的中点,tan B=2. (1)求证:AD=AE; (2)如图2,点P在线段BE上,作EFDP于点F,连接AF,求证:DF-EF= AF.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)如图1,AEBC,AEB=90, tan B=2, =2,AE=2BE, E为BC的中点,BC=2BE, AE=BC. 四边形ABCD是平行四边形, AD=BC, AD=AE. (2)如图,作AMAF,交DP于点M,则MAF=90. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC, AEBC,AEAD, DAE=MAF=90, DAM=FAE=90-MAE. AEBC,EFDP,AEP=EFP=90,2,1,3,4,5,6,7,8,AEF+PEF=90,PEF+FPE=90, AEF=FPE, ADBC,ADM=FPE, ADM=AEF, 在ADM和AEF中, AM=AF,DM=EF, DF-EF=MF.,2,1,3,4,5,6,7,8,3.(2016武汉)在ABC中,P为AB上一点. (1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=APAB. (2)若M为CP的中点,AC=2. 如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长; 如图3,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如图,取AP中点G,连接MG. 设AG=x,则PG=x,BG=3-x.,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,4.(2016北京)在等边ABC中, (1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数; (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM. 依题意将图2补全; 小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中, 始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论, 形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:要证明PA=PM,只需证APM是等边三角形; 想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证ANPPCM; 想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK 请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)AP=AQ,APQ=AQP, APB=AQC, ABC是等边三角形, B=C=60, BAP=CAQ=20, AQB=APQ=BAP+B=80.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如图所示. 如图,AP=AQ,APQ=AQP, APB=AQC, ABC是等边三角形,B=C=60, BAP=CAQ, 点Q关于直线AC的对称点为M, AQ=AM,QAC=MAC, MAC=BAP,BAP+PAC=MAC+CAP=60, PAM=60, AP=AQ,AP=AM, APM是等边三角形, PA=PM.,2,1,3,4,5,6,7,8,5.(2016贵阳)(1)阅读理解: 如图,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ; (2)问题解决: 如图,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF于点D, DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CFEF; (3)问题拓展: 如图,在四边形ABCD中,B+D=180,CB=CD,BCD=140,以C为顶点作一个70角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图所示: AD是BC边上的中线, BD=CD, BDECDA(SAS), BE=AC=6, 在ABE中,由三角形的三边关系得:AB-BEAEAB+BE, 10-6AE10+6,即4AE16, 2AD8.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示: 由(1)得BMDCFD(SAS), BM=CF, DEDF,DM=DF,EM=EF, 在BME中,由三角形的三边关系得:BE+BMEM, BE+CFEF.,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)BE+DF=EF. 理由如下: 延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示: ABC+D=180,NBC+ABC=180, NBC=D, NBCFDC(SAS), CN=CF,NCB=FCD, BCD=140,ECF=70, BCE+FCD=70, ECN=70=ECF,2,1,3,4,5,6,7,8,NCEFCE(SAS), EN=EF, BE+BN=EN, BE+DF=EF.,2,1,3,4,5,6,7,8,6.(2016福建莆田)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc (1)模拟探究:如图,正方形EFGH为ABC的BC边上的内接正方形, (3)拓展延伸:若ABC为锐角三角形,bc,请判断xb与xc的大小,并说明理由.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)正方形EFGH中,EHFG, AEHABC, ADBC,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,7.如图,ABC中,ADBC,DEAC于E,AFBE于H,交DE于F, (1)求证:ADFBCE; (2)若AB=AC,求证:DF=EF; (3)在(2)的条件下,若EAF=30,直接写出cos EBC的值.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)如图,ADBC, ADC=90,即1+EDC=90, DEAC,DEC=90, EDC+C=90, 1=C, AHBE,SAH+ASH=90, 又2+BSD=90,BSD=ASH, SAH=2, ADFBCE.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如图2,DCE=ACD, RtCDERtCAD,2,1,3,4,5,6,7,8,提示:如图3,设EF=x,则DF=EF=x,在RtAEF中,EAF=30,AF=2EF=2x,AE=,2,1,3,4,5,6,7,8,8.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC,BD交于点O,点E在AB的延长线上,连接CE,AFCE,AF分别交线段CE,边BC,对角线BD于点F,G,H(点F不与点C,E重合). (1)当点F是线段CE的中点时,求GF的长; (2)设BE=x,OH=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的自变量的取值范围; (3)当BHG是等腰三角形时,求BE的长.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)AB=8,BC=6,AC=10, AFCE,AFC=AFE=90, 点F是线段CE的中点,CF=EF. 在ACF和AEF中, AE=AC=10,BE=2. CGF=AGB,GFC=ABG, FCG=GAB,CBE=ABG, CBEABG,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如图所示,作BMAF,ONAF,垂足分别为点M,N, AFCE,ONBMCE, ONHBMH,ANOAFC,BMGCFG,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)BHG是等腰三角形, 当BH=BG时,AHDGHB,即BE=3; 当GH=GB时,得出AHD=ADH,AH=AD=6,设BG=t, 则AB2+BG2=AG2, 即82+t2=(6+t)2,2,1,3,4,5,6,7,8,当HG=HB时,得出HGB=HBG=OCB,即点F与点C重合(不符合题意). 综上所述,当BHG为等腰三角形时,BE=3或BE= .,
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