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第2课时 椭圆方程及性质的应用,类型 一 直线与椭圆的位置关系 【典型例题】 1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点, 则m的取值范围为 . 2.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一 个公共点?没有公共点?,【解题探究】1.直线过定点的问题一般如何处理?当点在什么位置时,经过该点的直线总与椭圆有公共点? 2.判断直线与椭圆有几个公共点时,常用什么方法?,探究提示: 1.(1)把含参数的直线整理为两部分,一是含参数的部分,一是不含参数的部分,让两部分同时为零,即可求得直线的定点. (2)当点在椭圆内部和在椭圆上时,经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线与椭圆的交点个数,往往利用判别式的符号进行判断.,【解析】1.方法一:由 消去y,整理得 (m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, =100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). 直线与椭圆总有公共点, 0对任意kR都成立. m0,5k21-m恒成立,1-m0,即m1. 又椭圆的焦点在x轴上,0m5, 1m5.,方法二:直线y=kx+1过定点M(0,1), 要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或 椭圆上,由此得 解得1m5. 答案:1,5),2.由 得2x2+3(kx+2)2=6, 即(2+3k2)x2+12kx+6=0, =144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 当=72k2-480,即k 或k- 时, 直线和曲线有两个公共点; 当=72k2-48=0,即k= 或k=- 时, 直线和曲线有一个公共点; 当=72k2-480,即- k 时,直线和曲线没有公共点.,【拓展提升】 1.点与椭圆的位置关系判断,2.直线与椭圆位置关系的判断方程,【变式训练】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围. 【解析】由题意得 消去y得: 5x2+2mx+m2-1=0. 直线与椭圆有公共点, =4m2-20(m2-1)=20-16m20, ,类型 二 弦长问题 【典型例题】 1.如图所示,已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点,交椭圆于A,B两点, 则弦AB的长为 . 2.(2013汝阳高二检测)椭圆 (ab0)的离心率 为 ,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|= , 求椭圆的方程.,【解题探究】1.题1中的直线l已经具备了哪些条件? 2.直线与椭圆相交的弦长问题,一般应如何处理? 探究提示: 1.直线l已经具备了两个条件,一是此直线的斜率为1,二是此 直线上的一个点即焦点( ,0). 2.对于直线与椭圆相交的弦长问题,一般应把直线与椭圆的 方程联立方程组,应用根与系数的关系表示出x1+x2(或y1+y2) 与x1x2(或y1y2),然后再根据条件求解其他问题.,【解析】1.设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 由椭圆方程得a2=4,b2=1,c2=3,所以F( ,0),直线l的方程为 y=x- .将其代入x2+4y2=4,化简整理,得5x2-8 x+8=0, 所以x1+x2= ,x1x2= . 所以|AB|= |x1-x2| = = 答案:,2.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由e= 得c= a.由c2=a2-b2,得a2=4b2. 由 消去x,得2y2+8y+16-b2=0. 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2= |PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2 =5(y1+y2)2-4y1y2=10, 即516-2(16-b2)=10,解得b2=9,则a2=36. 所以椭圆的方程为,【互动探究】题1中若直线过x轴上点(m,0),那么当m为何值时,弦长|AB|最长? 【解题指南】列出直线方程,与椭圆方程构建方程组.利用弦长公式建立弦长的函数,再由二次函数求最值. 【解析】由条件可知,直线l的方程可设为y=x-m. 再由 得5x2-8mx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= 由0即64m2-20(4m2-4)0得- m |AB|= = = 故当m=0时,|AB|max=,【拓展提升】 1.直线与椭圆相交时弦长的两种求法 方法一:求直线与椭圆的交点 用两点间距离公式求解 方法二:条件:直线l:y=kx+m,椭圆: (ab0).,提醒:有时为了方便,也可联立方程组消去x,利用公式 |AB|= |y2-y1| = 求解.,2.“设而不求”的思想在求弦长时的应用 设出两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),目的不是求出点的坐标, 而是通过方程联立得到一元二次方程,借用根与系数的关系, 得到x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2.再转化求出,如 |AB|= |x2-x1|=,【变式训练】已知椭圆C中心在原点O,焦点在x轴上,其长轴长 为焦距的2倍,且过点M(1, ),F为其左焦点. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,当|AB|= 时, 求直线l的方程. 【解题指南】(1)采用待定系数法求解. (2)分l斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,利用弦长公式建立方程,解方程求出斜率,进而求出直线l的方程.,【解析】(1)由条件知:a=2c,b2=a2-c2=3c2, 设椭圆的标准方程为 又过点M(1, ), c2=1,a2=4,b2=3, 椭圆的标准方程为,(2)当直线l斜率不存在时,|AB|=3,不合题意. 当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x+1), 由 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2= x1x2=,|AB|= |x1-x2| = = = k2= ,即k= , 直线l的方程为x- y+1=0或x+ y+1=0.,中点弦问题 【典型例题】 1.(2013安阳高二检测)如果椭圆 的弦被点 (4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 2.焦点分别为(0,5 )和(0,-5 )的椭圆截直线y=3x-2所得 椭圆的弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程.,【解题探究】1.把中点弦的两端点(x1,y1)和(x2,y2)代入椭圆方程作差,能得到什么结论? 2.在解决直线与椭圆的关系问题时,的值必须验证吗? 探究提示: 1.x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,其中(x0,y0)为中点坐标,所以把 与 作差后能直接求得直线的斜率k. 2.一般情况下,的符号都要验证,其目的是防止增根.,【解析】1.选D.设弦的两端点分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1+x2=8,y1+y2=4.又由 得 k= 所以弦所在的直线方程为y-2=- (x-4), 即x+2y-8=0.,2.设椭圆方程为 (ab0), 且a2-b2=(5 )2=50, 由 得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0, a2=3b2, 由得:a2=75,b2=25,此时0, 椭圆方程为,【拓展提升】解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分 别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系, 具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (ab0) 上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点, 则 由-,得 变形得 即,【变式训练】(2013大理高二检测)已知椭圆的中心在原点, 焦点为F1(0,-2 ),F2(0,2 ),且离心率 (1)求椭圆的方程. (2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B, 且线段AB中点的横坐标为- ,求直线l的斜率的取值范围.,【解析】(1)设椭圆方程为 (ab0), 由已知c=2 ,又 解得a=3, 所以b=1,故所求方程为 (2)设直线l的方程为y=kx+b(k0)代入椭圆方程整理得 (k2+9)x2+2kbx+b2-9=0. 由题意得 解得k 或k 或k- .,椭圆中的最值问题 【典型例题】 1.已知椭圆C: 点A(3,0),点P在椭圆C上.求|PA| 的最小值. 2.如图,点A,B分别是椭圆 长轴的左、右端点, 点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF. (1)求点P的坐标. (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的 距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值.,【解析】1.设P(x0,y0),则 |PA|2=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+9(1- ) =x02-6x0+9+9- = -6x0+18 = -5x05且-5 5, x0= 时,(|PA|2)min= 即|PA|的最小值是,2.(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0), 设点P的坐标是(x,y),则 =(x+6,y), =(x-4,y). 由已知得 消去y得2x2+9x-18=0,解得x= 或x=-6. 由于y0,只能x= ,于是y= 故点P的坐标是( ).,(2)直线AP的方程是x- y+6=0. 设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是 于是 =|m-6|,又-6m6,解得m=2.设椭圆上的点 (x,y)到点M的距离为d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15,由于-6x6, 故当x= 时,d取最小值,【拓展提升】 1.椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离问题的最佳解法,2.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法:利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解. (3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.,【规范解答】平面向量在椭圆求解中的应用,【典例】,【条件分析】,【规范解答】(1)由已知可设椭圆C2的方程为 ,其离心率为 ,故 ,则a=4, 故椭圆C2的方程为 4分 (2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此 可设直线AB的方程为y=kx ,6分,将y=kx代入椭圆方程 +y2=1得(1+4k2)x2=4,所以 8分 将y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以 9分 又由 得xB2=4xA2 ,即 解得 k=1,11分 故直线AB的方程为y=x或y=-x.12分,方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB 的方程为y=kx,6分 将y=kx代入椭圆方程 得(1+4k2)x2=4,所以 xA2= ,故 7分 由 得 ,9分 将xB2,yB2代入椭圆C2的方程 中,整理得 即4+k2=1+4k2,解得k=1,11分 故直线AB的方程为y=x或y=-x.12分,【失分警示】,【防范措施】 1.合理设出方程 在解题时,根据题目条件合理设出方程是解题的关键,往往对 解题起到很大的简化作用,如本例中,由题意可设出C2的方程 为 (a2). 2.向量式的应用关键 在解析几何中,向量相等,往往是通过对应坐标相等来实现的, 这是使用向量式的关键,要在平时解题中落实.,【类题试解】(2013天津高考)设椭圆 (ab0)的左 焦点为F,离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的 线段长为 (1)求椭圆的方程. (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与 椭圆交于C,D两点.若 =8,求k的值.,【解题指南】(1)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆 截得的线段长求出a，b，c的值，写出椭圆方程. (2)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用 根与系数的关系表示 求解.,【解析】(1)设F(c,0),由 过点F且与x轴 垂直的直线为x=c,代入椭圆方程有 解得 解得 又a2-c2=b2，从而 a= c=1， 所以椭圆的方程为,(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去y，整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2 6=0. 所以x1+x2=,因为A( ,0),B( ,0),所以 =(x1+ ,y1)( x2,y2)+(x2+ ,y2)( x1,y1) =62x1x22y1y2=62x1x22k2(x1+1)(x2+1)=6(2+2k2)x1x2 2k2(x1+x2)2k2= 由已知得,1.直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点坐标是 ( ) A.( , ) B.( , ) C.(- , ) D.(- ,- ),【解析】选C.由 得3x2+4x-2=0, x1+x2=- , 弦中点的横坐标 纵坐标 故选C.,2.过椭圆 的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦, 则此弦长为( ) A. B.3 C.2 D. 【解析】选B.c2=a2-b2=4-3=1, 椭圆的焦点坐标为(1,0). 把x=1或x=-1代入 得 y= .所以此弦长为 -(- )=3.,3.过椭圆 的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 . 【解析】椭圆的左焦点为(-4,0),由 得34x2+200x+175=0,x1+x2=- ,x1x2= . |AB|= = 答案:,4.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+ y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 . 【解析】设椭圆方程为 (ab0). 由 得(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0, 由=0及c=2,可得a2=7,2a=2 答案:2,5.已知椭圆 过点P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分, 求此弦所在直线的方程. 【解析】方法一:由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在,设所求直线的方程为y-1=k(x-2). 代入椭圆方程并整理, 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上面方程的两个根,则x1+x2= 由P为弦AB的中点,知2= 解得k=- ,故所求直线的方程为x+2y-4=0.,方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 由P为弦AB的中点,知x1+x2=4,y1+y2=2, 由A,B在椭圆上,知x12+4y12=16,x22+4y22=16,两式相减, 得(x12-x22)+4(y12-y22)=0, 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 则 即kAB=- . 故所求直线方程为y-1=- (x-2), 即x+2y-4=0.,
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