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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1, ,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 时，,（4）,当 时，,课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ；,例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例3： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申： 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项 2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,
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