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宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 1 页 北京市宣武区 2009-2010 学年度第一学期期末质量检测 高 三 数 学(理科) 2010.1 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 8 页.全卷满分 150 分. 考试时间为 120 分钟. 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分;在每个小题给出的四个选项中,有且只 有一个是符合题目要求的) 1.设集合 , ,全集 ,则集合 的元素个数有 ( 4,321A,BBAUBACU ) A 个 B 个2C 个 3D 个 4 2. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的 ( 2a03:1yaxl 14:2xyl ) 3.下列结论正确的是 ( ) 4.从 45 名男生和 15 名女生中按分层抽样的方法,选出 8 人参加国庆活动.若此 8 人站在同一排,则 不同的排法种数为 ( ) A 21564CB 821564AC 3154D 83154AC 5.如图,设 是图中边长为 4 的正方形区域, 是 内函数 图象下方DE2xy 的点构成的区域向 中随机投一点,则该点落入 中的概率为 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 使 成立,Rx012xB ,都有 成立0x2lg1x C函数 22yx的最小值为 2D 2时,函数 有最大值为y3 A 51B 4C 31D 2 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 2 页 12 题图 6.设函数 ,其中 ,则导数 的取值范围是 142cos3sinxxxf 650,1f ( ) A 6,B 34,C 34,D 34, 7. 如图,正方体 1CDA的棱长为 ,线段 1B上有一个点 E,且 ,则四棱锥21 的体积为 ( ) BE1 8. 已知函数 和 都是定义在 上的偶函数,当 时, .则当)(xf2fR2,x)(xgf 时, 的解析式为 ( )4,2nxZxf A )(gB )(ngC )4(nxgD )4(nx 第 卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分;把答案填在相应的位置上)。 9.已知 的展开式中二项式系数之和为 16,则 ;设 为虚数单位,复数 的nx3 nini1 运算结果为 . 10. 已知非零向量 满足: ,且 ,则向量 a与向量 b的夹角 = _ . ba,b2ba 11.如果点 P 在不等式组 所确定的平面区域内,点 012yx Q 在圆 上,那么1)3(22y |PQ|的最小值为_. 12.执行如图程序框图,若输出的 值为y 11, 则输入的 值为 _.x A 2B 2 C 4D 34 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 3 页 13 题图 13.如图,已知 和 所在平面互相垂直, ABCD , , ,09abBC ,且 ,则三棱锥 的cD122cbaDA 外接球的表面积为 . 14.用 三个字母组成一个长度为 个字母的字符串,要求由 开始,相邻两个字, 1n*)(N 母不同. 例如 时,排出的字符串可能是 或 ; 时排出的字符串可能是 ,1n2n (如图).若记这种 个字符串中,排在最后一个的字母仍是 的所有字符串的种数为, , 可知, ;则 _ ;数列 的前 项之和 . na2,01a4na naa2321 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题共 13 分) 已知 三个内角 ,ABC的对边分别为 ,abc, ,且 . Basin230AC ()求 A的度数; ()若 , ,求 的面积.23coscs6ABC 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 4 页 16. (本小题共 13 分) 如图正三棱柱 , , ,若 为棱 中点. 1CBA2ABNAB ()求证: 平面 ;1ACN1 ()求 与平面 所成的角正弦值. 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 5 页 17. (本小题共 13 分) 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖盒中装有 9 张大小相同的 精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是: 参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖卡 片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行 (I)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张 “海宝”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽 取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 ,求抽奖者获奖的概率;185 ()现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用 表示获奖的人数,求 的分布列及 的值,ED 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 6 页 18.(本小题共 13 分) 已知二次函数 的图像经过坐标原点,且满足 ,设函数)(xg 12)(1(xgx ,其中 为非零常数1ln)(mxf m (I)求函数 的解析式; (II)当 时,判断函数 的单调性并且说明理由;02)(xf (III)证明:对任意的正整数 ,不等式 恒成立n2311ln 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 7 页 19.(本小题共 14 分) 已知直线 : 与圆 C: 相交于 两点l1kxy 1)3()2(2yxBA, ()求弦 的中点 的轨迹方程;ABM ()若 为坐标原点, 表示 的面积, ,求 的最大O)(SOAB13)(2kSkf )(kf 值. 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 8 页 20. (本小题共 14 分) 已知函数 , 为正整数5)(xfm ()求 和 的值;01f)1()xf ()若数列 的通项公式为 ( ),求数列 的前 项和 ;nanam,21 namS ()设数列 满足: , ,设 ,nb21nnb2 1121nbT 若()中的 满足对任意不小于 3 的正整数 n, 恒成立,试求mS 574nmS m 的最大值. 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 9 页 北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测 高三数学 (理)参考答案及评分标准 2010.1 一、选择题:本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分;在每个小题给出的四个选项中有且仅有 一个是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C A D C 二、填空题:本大题共有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分;请把答案写在相应的位置上. 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4,3 21 5 ,6 3142n 三、解答题:本大题共有 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 解:() ,Babsin32 由正弦定理知: ,BAsin32 是三角形内角, ,从而有 , 0sinB2sin ,AC = .6 分o60 ()将 ()B代入 得:23coscsBCA ,23ocsCA 利用两角和与差的余弦公式展开得: ; 43sinCA21sin 相应的有: = ,o30 的面积为 .13 分ABC6 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 10 页 16. (本题满分 13 分) 证明:()连结 和 交于 点,连 1BCON 是正三棱柱, A 为 的中点.又 为棱 中点,O1AB 在 中, ,又 , 平面 ,BC1/NCN1平 面OACNB1 平面 ;61A1 分 ()建如图所示空间直角坐标系, , , ,0,N0,21B3,C , ,1A)( , 3,C,1N 设平面 的法向量为 n ,B1 )(zyx ,即 ,令 ,得 n , 01nN022)0,2( ,),3(1CA 62,cos11CAn 与平面 所成的角正弦值为 .13 分1NB16 17. (本题满分 13 分) 解:(I)设“世博会会徽” 卡有 张,由 ,得 ,n18529Cn 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 ;6 分6294 () 的分布列为 ;)61,(B )4,3210()51()(44kkPk 0 1 2 3 4P44)5(C3)65(24)6(C14)65(0)65(C , 13 分3261E9D 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 11 页 18.(本题满分 13 分) 解:()设 , 的图象经过坐标原点,所以 c=0.cbxaxg2)()(g 1)(1 12)1(22 xbaxba 即: 2xxx a=1,b=0, ;分2)(g ()函数 的定义域1ln)(2xmxf 为 ,1,12 xmf 令 , , ,12)(xxk )()2k 12)()(maxk , , 在 上恒成立,0m02(ma012xk, 即 ,当 时,函数 在定义域 上单调递减分)(xf()f, (III)当 时, ,令 12()ln(1.fx332()ln(1),hxfx 则 在 上恒正, 3()hx0, 在 上单调递增,当 时,恒有 .,0, ,x()0hx 即当 时,有 ,x32ln(1)023l 对任意正整数 ,取 得 n1x23 分 19.(本题满分 1分) 解:()直线 与 轴的交点为 N(0,1),圆心 C(2,3),设 M( , ),ly xy 与 所在直线垂直, ,( ,MNCxy)20x且 当 时不符合题意,当 时, 符合题意,0x2x 中点的轨迹方程为: , .6AB034y4747x 分 ()设 ,),(),(21yx 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 12 页 ,且 ,ONABOASS1121xONSAB 将 代入方程 得 ,1kxy)3()2(2yx 07)(4)(2kk ,22417k 4 = ,21214)(xxxSOAB 2)(1k = ,0 分3)(22kkf 2)(8 由 , , 得 ,0)1(4)( 32f 3k0374374k 时, 的最大值为 .43kkf 分 20. (本题满分 1分) 解:() =1;515)0(f = = =1;)1()xf1x xx5 分 ()由()得 ,即)1( 1)() mkfmkf,1 1)() kmka,mfkf 由 , 321aS 得 am1mm 由, 得 ,10 分,2)(2S 4521)()12)( mfS () ,对任意的 . ,1b1bbnnn 0 *,nbN 即 .,)(nn1n 1nnb .111321 2)(1 nnnn bbT 数列 是单调递增数列.,0bn1nn 宣武区高三数学期末检测试卷(理)(共 13 页) 第 13 页 关于 n 递增. 当 , 且 时, .T3Nn3Tn 2567)1(6,12)4()12(,1 4 bbb .而 为正整数,.75643n ,573Sm0m 的最大值为 650. 1分m
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