北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学理.doc

宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 1 页 北京市宣武区 2009-2010 学年度第一学期期末质量检测 高 三 数 学（理科） 2010.1 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8 页.全卷满分 150 分. 考试时间为 120 分钟. 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中，有且只 有一个是符合题目要求的） 1.设集合 ， ，全集 ，则集合 的元素个数有 （ 4,321A,BBAUBACU ） A 个 B 个2C 个 3D 个 4 2. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的 （ 2a03:1yaxl 14:2xyl ） 3.下列结论正确的是 ( ) 4.从 45 名男生和 15 名女生中按分层抽样的方法，选出 8 人参加国庆活动.若此 8 人站在同一排，则 不同的排法种数为 （ ） A 21564CB 821564AC 3154D 83154AC 5.如图，设 是图中边长为 4 的正方形区域， 是 内函数 图象下方DE2xy 的点构成的区域向 中随机投一点，则该点落入 中的概率为 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 使 成立,Rx012xB ，都有 成立0x2lg1x C函数 22yx的最小值为 2D 2时，函数 有最大值为y3 A 51B 4C 31D 2 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 2 页 12 题图 6.设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是 142cos3sinxxxf 650，1f （ ） A 6，B 34，C 34，D 34， 7. 如图，正方体 1CDA的棱长为 ，线段 1B上有一个点 E，且 ，则四棱锥21 的体积为 ( ) BE1 8. 已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，当 时， .则当)(xf2fR2,x)(xgf 时， 的解析式为 （ ）4,2nxZxf A )(gB )(ngC )4(nxgD )4(nx 第 卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分；把答案填在相应的位置上）。 9.已知 的展开式中二项式系数之和为 16，则 ；设 为虚数单位，复数 的nx3 nini1 运算结果为 . 10. 已知非零向量 满足： ，且 ，则向量 a与向量 b的夹角 = _ . ba,b2ba 11.如果点 P 在不等式组 所确定的平面区域内,点 012yx Q 在圆 上，那么1)3(22y |PQ|的最小值为_. 12.执行如图程序框图，若输出的 值为y 11， 则输入的 值为 _.x A 2B 2 C 4D 34 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 3 页 13 题图 13.如图,已知 和 所在平面互相垂直， ABCD ， ， ，09abBC ，且 ，则三棱锥 的cD122cbaDA 外接球的表面积为 . 14.用 三个字母组成一个长度为 个字母的字符串，要求由 开始，相邻两个字, 1n*)(N 母不同. 例如 时，排出的字符串可能是 或 ； 时排出的字符串可能是 ，1n2n (如图).若记这种 个字符串中，排在最后一个的字母仍是 的所有字符串的种数为， ， 可知， ；则 _ ；数列 的前 项之和 . na2,01a4na naa2321 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共 13 分） 已知 三个内角 ,ABC的对边分别为 ,abc, ，且 . Basin230AC （）求 A的度数； （）若 ， ，求 的面积.23coscs6ABC 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 4 页 16. （本小题共 13 分） 如图正三棱柱 ， , ，若 为棱 中点. 1CBA2ABNAB （）求证： 平面 ；1ACN1 （）求 与平面 所成的角正弦值. 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 5 页 17. （本小题共 13 分） 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有 9 张大小相同的 精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是： 参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡 片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行 （I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张 “海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽 取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 ，求抽奖者获奖的概率；185 （）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 的值,ED 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 6 页 18.（本小题共 13 分） 已知二次函数 的图像经过坐标原点，且满足 ，设函数)(xg 12)(1(xgx ,其中 为非零常数1ln)(mxf m (I)求函数 的解析式； (II)当 时，判断函数 的单调性并且说明理由；02)(xf (III)证明：对任意的正整数 ,不等式 恒成立n2311ln 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 7 页 19.（本小题共 14 分） 已知直线 ： 与圆 C： 相交于 两点l1kxy 1)3()2(2yxBA, （）求弦 的中点 的轨迹方程；ABM （）若 为坐标原点， 表示 的面积， ，求 的最大O)(SOAB13)(2kSkf )(kf 值. 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 8 页 20. （本小题共 14 分） 已知函数 ， 为正整数5)(xfm （）求 和 的值；01f)1()xf （）若数列 的通项公式为 （ ），求数列 的前 项和 ；nanam,21 namS （）设数列 满足： ， ，设 ，nb21nnb2 1121nbT 若（）中的 满足对任意不小于 3 的正整数 n， 恒成立，试求mS 574nmS m 的最大值. 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 9 页 北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测 高三数学 （理）参考答案及评分标准 2010.1 一、选择题：本大题共有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有 一个是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C A D C 二、填空题：本大题共有 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分；请把答案写在相应的位置上. 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4,3 21 5 ,6 3142n 三、解答题：本大题共有 6 个小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 解：（） ，Babsin32 由正弦定理知： ,BAsin32 是三角形内角， ,从而有 ， 0sinB2sin ，AC = .6 分o60 （）将 ()B代入 得：23coscsBCA ,23ocsCA 利用两角和与差的余弦公式展开得： ； 43sinCA21sin 相应的有： = ,o30 的面积为 .13 分ABC6 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 10 页 16. （本题满分 13 分） 证明：（）连结 和 交于 点，连 1BCON 是正三棱柱， A 为 的中点.又 为棱 中点,O1AB 在 中, ,又 , 平面 ,BC1/NCN1平 面OACNB1 平面 ；61A1 分 （）建如图所示空间直角坐标系， ， ， ，0,N0,21B3,C ， ，1A)( ， 3,C,1N 设平面 的法向量为 n ，B1 )(zyx ，即 ，令 ，得 n ， 01nN022)0,2( ，),3(1CA 62,cos11CAn 与平面 所成的角正弦值为 .13 分1NB16 17. （本题满分 13 分） 解：（I）设“世博会会徽” 卡有 张，由 ，得 ，n18529Cn 故“海宝”卡有 4 张，抽奖者获奖的概率为 ；6 分6294 （） 的分布列为 ；)61,(B )4,3210()51()(44kkPk 0 1 2 3 4P44)5(C3)65(24)6(C14)65(0)65(C ， 13 分3261E9D 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 11 页 18.（本题满分 13 分） 解：（）设 ， 的图象经过坐标原点，所以 c=0.cbxaxg2)()(g 1)(1 12)1(22 xbaxba 即： 2xxx a=1,b=0, ；分2)(g （）函数 的定义域1ln)(2xmxf 为 ，1,12 xmf 令 ， ， ，12)(xxk )()2k 12)()(maxk ， ， 在 上恒成立，0m02(ma012xk, 即 ，当 时,函数 在定义域 上单调递减分)(xf()f, （III）当 时， ，令 12()ln(1.fx332()ln(1),hxfx 则 在 上恒正， 3()hx0, 在 上单调递增，当 时，恒有 .，0, ,x()0hx 即当 时，有 ，x32ln(1)023l 对任意正整数 ，取 得 n1x23 分 19.（本题满分 1分） 解：（）直线 与 轴的交点为 N（0，1），圆心 C（2，3），设 M（ ， ），ly xy 与 所在直线垂直， ，（ ，MNCxy)20x且 当 时不符合题意，当 时， 符合题意，0x2x 中点的轨迹方程为： ， .6AB034y4747x 分 （）设 ，),(),(21yx 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 12 页 ，且 ，ONABOASS1121xONSAB 将 代入方程 得 ,1kxy)3()2(2yx 07)(4)(2kk ，22417k 4 = ，21214)(xxxSOAB 2)(1k = ，0 分3)(22kkf 2)(8 由 ， ， 得 ,0)1(4)( 32f 3k0374374k 时， 的最大值为 .43kkf 分 20. （本题满分 1分） 解：（） =1；515)0(f = = =1；)1()xf1x xx5 分 （）由（）得 ,即)1( 1)() mkfmkf,1 1)() kmka,mfkf 由 , 321aS 得 am1mm 由, 得 ，10 分,2)(2S 4521)()12)( mfS （） ,对任意的 . ,1b1bbnnn 0 *,nbN 即 .,)(nn1n 1nnb .111321 2)(1 nnnn bbT 数列 是单调递增数列.,0bn1nn 宣武区高三数学期末检测试卷（理）（共 13 页） 第 13 页 关于 n 递增. 当 , 且 时, .T3Nn3Tn 2567)1(6,12)4()12(,1 4 bbb .而 为正整数，.75643n ,573Sm0m 的最大值为 650. 1分m