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3.4 基本不等式,高一数学必修5第三章不等式,先阅读课本P91-P92,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,1.如果设直角三角形的两条直角边的边长为a和b，你能用a和b表示哪些面积？这些面积之间有什么关系？,2.从图形分析,上述不等式在什么情况 下取等号？,当直角三角形为等腰直角三角形，即 ab时， a2b22ab.,新知探究,3.在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，bR时，不等式a2b22ab成立吗？为什么？,一般地，对于任意实数a，b，有:a2b22ab，当且仅当ab时等号成立.,新知探究,说明：,新知探究,4.特别地，如果a0，b0，我们用 、 分别代替a、b ，可得什么不等式?,当且仅当ab时等号成立.,基本不等式,1. 若 , 则 , 当且仅当 时取“ = ”号.,新知探究,变式:,典例讲评,典例讲评,例1 已知x、y都是正数，求证： (xy)(x2y2)(x3y3)x3y3,例2 已知 a2b2c21， 求证：(abc)23.,例3 若正数a,b满足 求ab的取值范围.,典例讲评,例4.已知x,yR+,求证: (1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有 最小值2 ; (2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有 最大值,积定和最小; 和定积最大.,典例讲评,例5 已知 求 的最小值 .,典例讲评,例6 已知 求 的最小值 .,典例讲评,例7.已知 ，求函数 的最大值.,典例讲评,例8.已知 ，求函数 的最大值.,当 时，y取最大值 .,(1)积为定值和化积和有最小值,(2)和为定值积化和积有最大值,最值原理：,(3)环境条件：一正二定三相等.,典例讲评,例9 判断以下解题过程的正误：,不满足“一正”,典例讲评,不满足“二定”,典例讲评,不满足“三相等”,典例讲评,例10 若x0,y0,且 ,求xy的最小值.,课堂小结,1.不等式a2b22ab与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.,课堂小结,2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理,3. (1) a2+b2 2ab (当且仅当a=b时取等号),(当且仅当a=b时取等号),(当且仅当a=b时取等号),(4),(3),课堂小结,典例讲评,例1.（1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？,(2)一段长为36m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少?,典例讲评,例2. 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池, 其容积为4800 m3, 深为 3 m, 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少?,2011-10-18 课堂作业,
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