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小结与复习,第二十八章 锐角三角函数,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,1,(2)A的余弦:cosA ; (3)A的正切:tanA .,要点梳理,1. 锐角三角函数,如图所示,在RtABC中,C90, a,b,c分别是A,B,C的对边,2,sin30 ,sin45 ,sin60 ; cos30 ,cos45 ,cos60 ; tan30 ,tan45 ,tan60 .,2. 特殊角的三角函数,1,3,(1) 在RtABC中,C90,a,b,c分别是A, B,C的对边,三边关系: ; 三角关系: ; 边角关系:sinAcosB ,cosAsinB , tanA ,tanB .,a2b2c2,A90B,3. 解直角三角形,4,(2) 直角三角形可解的条件和解法 条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边),就可以求出其余的3个未知元素,解法:一边一锐角,先由两锐角互余关系求出 另一锐角;知斜边,再用正弦(或余弦)求另两边; 知直角边用正切求另一直角边,再用正弦或勾股 定理求斜边;知两边:先用勾股定理求另一边, 再用边角关系求锐角;斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题,5,(3) 互余两角的三角函数间的关系,sin = , cos = , sin2 + cos2 = . tan tan(90) = .,cos(90),sin(90),1,1,6,对于sin与tan,角度越大,函数值越 ; 对于cos,角度越大,函数值越 .,大,小,(4) 锐角三角函数的增减性,7,(1) 利用计算器求三角函数值,第二步:输入角度值,,屏幕显示结果.,(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键),4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角,8,(2) 利用计算器求锐角的度数,还可以利用 键,进一步得到角的度数.,第二步:输入函数值,屏幕显示答案 (按实际需要进行精确),方法:,2nd F,9,方法:,第二步:输入锐角函数值,屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).,10,(1) 仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.,5. 三角函数的应用,11,以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方位角. 如图所示:,(2) 方位角,12,坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作,有 i = tan . 坡度通常写成1m的形式,如i=16. 显然,坡度越大,坡角就越大, 坡面就越陡.,如图:坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l) 的比叫做坡面坡度.记作i,即i = .,(3) 坡度,坡角,13,(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是: 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形, 转化为解直角三角形的问题); 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; 得到数学问题的答案; 得到实际问题的答案,14,A,C,M,N,在测点A安置测倾器,测得M的仰角MCE=;,E,量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l;,量出测倾器的高度AC=a,可求出 MN=ME+EN=l tan+a.,(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤:,6. 利用三角函数测高,15,(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢?,在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角MCE=;,A,C,B,D,M,N,E,在测点A与物体之间的B处安置测倾器,测得此时M的仰角 MDE=;,量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离 AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.,16,考点讲练,例1 在ABC中,C90,sinA ,则tanB的值为 ( ) A. B. C. D.,解析:根据sinA ,可设三角形的两边长分别为4k,5k,则第三边长为3k,所以tanB,B,17,方法总结:求三角函数值方法较多,解法灵活,在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法,常用的方法主要有:(1)根据特殊角的三角函数值求值;(2)直接运用三角函数的定义求值;(3)借助边的数量关系求值;(4)借助等角求值;(5)根据三角函数关系求值;(6)构造直角三角形求值,18,1. 在ABC中, A、 B都是锐角,且sinA=cosB, 那么ABC一定是_三角形,直角,2. 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B, C都在格点上,则ABC的正切值是_.,19,例2 矩形ABCD中AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tanAFE,分析:根据题意,结合折叠的性质,易得AFE=BCF,进而在RtBFC中,有BC=8,CF=10,由勾股定理易得BF的长,根据三角函数的定义,易得 tanBCF 的值,借助AFE=BCF,可得tanAFE的值,10,8,20,解:由折叠的性质可得,CF=CD, EFC=EDC=90. AFE+EFC+BFC=180, AFE+BFC=90. BCF+BFC=90,AFE=BCF. 在RtBFC中,BC=8,CF=CD=10, 由勾股定理易得BF=6.,tanBCF = .,tanAFE=tanBCF= .,10,8,21,解:在直角ABD中,tanBAD = BD = ADtanBAD=12 =9, CD=BCBD=149=5, sinC =,如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC14, AD12,tanBAD ,求sinC的值,22,例3 计算:,解:原式,23,(1) tan30cos45tan60;,(2) tan30 tan60 cos230.,计算:,解:原式,解:原式,24,例4 如图,在ABC中,C90,点D在BC上,BD4,ADBC,cosADC = ,求: (1) DC的长;,分析:题中给出了两个直角三角形,DC和sinB可分别在RtACD和RtABC中求得,由ADBC,图中CDBCBD,由此可列方程求出CD,25,又 BCCDBD,,解得x =6,CD=6.,解:设CDx,在RtACD中,cosADC = ,,26,(2) sinB的值,解:BC=BD+CD=4+6=10=AD,,在RtACD中,,在RtABC中,,27,方法总结:本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理,利用锐角三角函数进行求解.,28,如图所示,在RtABC中,C90,AC3. 点D为BC边上一点,且BD2AD,ADC60. 求ABC的周长 (结果保留根号).,29,解:在RtADC中,,BD2AD4.,BCBDDC5.,在RtABC中,,ABC的周长为ABBCAC,30,解:连接OC. BC是O的切线, OCB90, OCABCA90. OAOC,OCAOAC, OACBCA90, BOA90,OACAPO90, APOBPC,BPCBCA,BCBP.,例5 已知:如图,RtAOB中,O90,以OA为半径作O,BC切O于点C,连接AC交OB于点P. (1) 求证:BPBC;,31,解:延长AO交O于点E,连接CE,在RtAOP中, sinPAO ,设OPx,AP3x, AO x. AOOE,OE x, AE x. sinPAO , 在RtACE中 , ,解得x3, AO x ,即O的半径为 .,(2) 若sinPAO ,且PC7,求O的半径,E,32,如图,AB为O的直径,且弦CDAB于E,过点 B的切线与AD的延长线交于点F若cosC = ,DF=3, 求O的半径,33,解:连接BD,在O中,C=A,,BF是O的切线,ABF=90,设AB=4x,则AF=5x,,由勾股定理得,BF=3x,AB是O的直径,BDAD,,cosA=cosC=,ABFBDF,,O的半径为,34,例6 如图,防洪大堤的横截面是梯形 ABCD,其中AD BC,=60,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE(结果保留根号),35,解:过点A作AFBC于点F, 在RtABF中, ABF =60, 则AF=ABsin60= (m), 在RtAEF中,E=45, 则 (m). 故改造后的坡长 AE 为 m.,F,36,如图,某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固,背水坡的坡角为45,高10米经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽 2米,加固后背水坡EF的坡比i =1: 求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号),37,G,H,解:作DGAB于G,EHAB于G, 则GH=DE=2米,EH=DG=10米.,(米),,(米).,又AG=DG=10米,, (米). 故加固后坝底增加的宽度AF为 米.,38,例7 如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48,若坡角FAE=30,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:sin480.74,cos480.67,tan481.11, 1.73),39,解:如图,过点 D 作DGBC于G,DHCE于H, 则四边形DHCG为矩形 故DG=CH,CG=DH,DGHC, DAH=FAE=30, 在直角三角形AHD中, DAH=30,AD=6, DH=3,AH= , CG=3, 设BC为x, 在直角三角形ABC中,,G,H,40,在RtBDG中, BG=DG tan30, 解得:x 13, 大树的高度为:13米.,G,H,41,如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30,在A、C 之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)用测角仪测得塔顶D的仰角为75,且AB间的距离为40m (1) 求点B到AD的距离;,答案:点B到AD的距离为20m.,C,42,(2) 求塔高CD(结果用根号表示),解:在RtABE中, A=30,ABE=60, DBC=75,EBD=1806075=45, DE=EB=20m, 则AD=AE+EB= (m), 在RtADC中,A=30, 答:塔高CD为 m., (m).,43,例8 如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得CAO=45,轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h,经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得DBO=58,此时B处距离码头O多远?(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.60),44,解:设B处距离码头O x km, 在RtCAO中,CAO=45, tanCAO=CO/AO , CO=AO tanCAO=(450.1+x) tan45=4.5+x, 在RtDBO中,DBO=58, tanDBO=DO/BO , DO=BO tanDBO=x tan58, DC=DOCO, 360.1=x tan58(4.5+x), 因此,B处距离码头O大约13.5km.,45,某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海,径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海 岸线上的D处,再向B处游去若CD 40米,B在C的北偏东35方向,甲、乙 的游泳速度都是 2 米/秒,则谁先到达 B 处?请说明理由 (参考数据:sin550.82, cos550.57,tan551.43).,46,分析: 在RtCDB中,利用三角函数即可求得BC,BD的长,则可求得甲、乙所用的时间,比较二者之间的大小即可,解:由题意得BCD55,BDC90. BDCD tanBCD40tan5557.2(米) BCCD cosBCD40cos5570.2(米) t甲57.2221038.6(秒), t乙70.22235.1(秒) t甲t乙 答:乙先到达B处,47,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解直角三角形,简单实际问题,课堂小结,正弦,锐 角 三 角 函 数,余弦,正切,三边关系,三角关系,边角关系,仰俯角问题,方位角问题,坡度问题,48,
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