《集合与常用逻辑用语,函数》知识总结大全.doc

第一章 集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】 一、集合的概念、关系与运算 1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法. 有的集合还可用Venn图表示，用专用符号表示，如等。 3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素是集合A的元素，则，否则。 4. 集合与集合之间的关系： 子集：若，则，此时称集合A是集合B的子集，记作。 真子集：若，且存在元素，且，则称A是B的真子集，记作：A B.相等：若，且，则称集合A与B相等，记作AB.。5. 集合的基本运算：交集： 并集： 补集：，其中为全集，。 6. 集合运算中常用结论： ，。 ，。， ，。 由个元素所组成的集合，其子集个数为个。互为原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p互逆逆否互为互否互否互逆逆否 空集是任何集合的子集，即。在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出现错误。 7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。 二、命题及其关系 1命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 2四种命题的相互关系：3. “若则”是真命题，即；“若则”是假命题，则。 4. 在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。 5. 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：（1）注意问题的设问方式，我们知道，是的充分不必要条件是指且；的必要不充分条件是是指且。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件。 6. 证明是的充要条件 （1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出； （2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出。 三、逻辑联结词与量词 1含有“且（）”“或()”“非（）”命题的真假性：真、真真真假真、假假真假假、真假真真假、假假假真2全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对中任意一个，有成立”可用符号简记为。含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在中任意一个，使成立”可用符号简记为。3全称命题与特称命题的关系：P的否定全称命题：特称命题：特称命题：全称命题：第二章 函数知识结构一.函数的概念及其表示（1）函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象二函数的基本性质1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。函数单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间如果对于区间内的_两个值，当时，都有_，那么在区间上是单调增函数，称为的单调_区间. 如果对于区间内的_两个值，当时，都有_，那么在区间上是单调减函数，称为的单调_区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，那么函数在区间上具有_.点评 单调性的等价定义：在区间上是增函数当时，有；在区间上是减函数当时，有；函数单调性的判定方法定义法；图像法；复合函数法；导数法；特值法（用于小题），结论法等.注意：定义法（取值作差变形定号结论）：设且，那么在区间上是增函数；在区间上是减函数。导数法（选修）：在区间内处处可导，若总有（），则在区间内为增（减）函数；反之，在区间内为增（减）函数，且处处可导，则（）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。点评 判定函数的单调性一般要将式子进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。与函数单调性有关的一些结论若与同增（减），则为增（减）函数，为增函数；若增，为减，则为增函数，为减函数，为减函数；若函数在某一范围内恒为正值或恒为负值，则与在相同的单调区间上的单调性相反；函数与函数具有相同的单调性和单调区间；函数与函数具有相同的单调性和单调区间，函数与函数具有相同单调区间上的单调性相反。2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；函数奇偶性的定义 一般地，设函数的定义域为如果对于_的，都有_，那么函数是偶函数. 一般地，设函数的定义域为如果对于_的，都有_，那么函数是奇函数. 如果函数是奇函数或偶函数，那么函数具有_.注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。图象特征函数为奇（偶）函数函数的图象关于原点（轴）成中心（轴）对称图形。注意 定义域含的偶函数图象不一定过原点；定义域含的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。点评 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.是奇函数.是偶函数.奇函数在原点有定义，则.在关于原点对称的单调区间内：（）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。是偶函数.奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性. 如判断函数的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下：定义（等价定义）法；图像法；结论法等.点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求，接着考察与的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。与函数的奇偶性有关的一些结论若与同奇（偶），则为奇（偶）函数，和为偶函数，为奇（偶）函数；若与一奇一偶，则和为奇函数，为偶函数；定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。函数按奇偶性分类奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。点评既奇又偶的函数有无数个。如定义域关于原点对称即可。如函数。3.周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律； 函数周期性的定义 一般地，对于函数，如果存在一个_的常数，使得定义域内的_值，都满足，那么函数称为周期函数，_常数叫做这个函数的周期。如果一个周期函数的所有的周期中存在一个_的_数，那么这个数叫做函数的最小周期正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。点评 非零常数是周期函数本身固有的性质，与自变量的取值无关；若非零常数是函数的周期，则非零常数的非零整数倍（，且也是函数的周期；若函数的周期为，则函数（其中，为常数，且，）的周期为；定义中的等式是恒等式；函数的周期是。三角函数的周期 ； ； ；函数周期的判定定义法（试值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）结论法。与周期有关的一些结论或 的周期为；是偶函数,其图像又关于直线对称的周期为；奇函数,其图像又关于直线对称的周期为；关于点,对称的周期为；的图象关于直线,对称函数的周期为；的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；对时,或的周期为；函数满足，且为非零常数的周期为4；函数满足（为非零常数）的周期6。点评 注意对称性与周期性的关系。4.对称性函数的对称性是研究函数图象的结构特点（即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形）；函数对称性的定义 如果函数的图象关于直线成_对称或点成_对称，那么具有对称性。注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。函数图象对称性的证明证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；与对称性性有关的一些结论 函数的图象关于直线成轴对称。特别地，当时，函数为偶函数。函数的图象关于点成中心对称。特别地，当且时，函数为奇函数。点评 函数奇偶性是函数对称性的特殊情况。若对时,恒成立,则图像关于直线对称；函数的图象关于点中心对称。5.有界性函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况，重点是通过研究函数的最大（小）值（值域）来研究有界性问题。函数最大（小）值的定义 一般地，设函数的定义域为如果存在，使得对于_的，都有_，那么称为的最大值，记为_；如果存在，使得对于_的，都有_，那么称为的最小值，记为_.注意 函数最大（小）值应该是某一个函数值；函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，最大（小）值不同于极大（小）值。值域与最值注意函数的最值与函数的值域的区别和联系，理解值域和最值是考察函数的有界性问题。与函数最值有关的几个结论若函数在区间上为单调增函数，则，；若函数在区间上为单调减函数，则，；若函数在区间上为单调增函数，在区间上为单调减函数，则；若函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，则。恒成立问题的处理方法 恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题。如：方程有解(为的值域)；不等式恒成立,不等式恒成立。 6.极值 函数的极值是研究函数在其定义域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问题角度有所不同。 极值的定义 设函数在及其附近有定义，如果的值比附近的所有各点的函数值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。极大值和极小值统称为极值。取得极值的点称为函数的极值点，极值点是自变量的取值，极值是指函数值。 极值的求法 图像法；导数法。 7.零点与不动点7.1函数的零点定义 一般地，我们把使函数的值为_的实数称为函数的零点.点评 函数的零点就是方程的实数根。从图象上看，函数的零点，就是它的图象与轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根、函数的图象与轴交点的横坐标这三者之间的联系，可以解决很多函数与方程的问题。这就是高考的热点内容函数与方程的思想运用。函数零点的存在性一般地，若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，且_，则至少存在一个实数，使得，此时实数为函数的零点.点评 若函数在区间上的图象是一条连续不间断的单调曲线，且0，则有惟一的实数，使得。7.2不动点 方程的根叫做函数的不动点，也是函数的零点。7.3函数、方程与不等式三者之间的关系一般地，不等式的解集为函数的图象在轴上方部分的点的横坐标组成的集合；不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的点的横坐标组成的集合；点评 利用函数图象并结合函数的零点，可求不等式或的解集；利用函数图象并结合相应方程的解，可求不等式或的解集等；74基本方法求函数零点和不动点的方法直接法（通过解方程（组）；图像法；二分法。点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系。三基本初等函数的图像与性质1.指数函数（1）根式的概念叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 （4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域（0,+）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴2.对数函数（1）对数的定义若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数对数式与指数式的互化：（2）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（3）几个重要的对数恒等式: ，（4）对数的运算性质 如果，那么加法： 减法：数乘： 换底公式：（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近y轴(6) 反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域（7）反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称即，若在原函数的图象上，则在反函数的图象上函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域 3.幂函数（1）幂函数的图象(需要知道x=12,1,2,3与y=1x的图像)（2）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 过定点：图象都通过点 4.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式： 两根式： （2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。在二次函数中当时，图象与轴有 个交点当 时，图象与轴有1个交点当 时，图象与轴有没有交点当 时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，f(x)min= ；当 时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，f(x)max= （4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出