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一次函数与正比例函数,【义务教育教科书北师版八年级上册】,学校：,教师：,一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.,1、函数,2、函数的表示法：,图象法、 列表法、 解析式法（关系式法）,课前回顾,因变量,自变量,某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。,情境引入,（1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：,3.5,4,4.5,5,5.5,所挂物体的质量x(kg)是自变量，弹簧的长y(cm)是x的函数，他们之间的数量关系是: 弹簧长度=原长+弹簧申长量,某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。,（1）完成下表：,0,6,12,18,24,36,探究2,（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？,（3）你能写出油箱余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？,耗油量y=,x,汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶500km后,油箱就没有油了,所以x不会超过500km.,想一想：这道题是实际问题，汽车能否一直开着？什么时候汽车就不能动了呢？,思考,这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.,y = x + 60,y = 0.5 x + 3,y,k(常数),x,=,b(常数）,+,思考,两个变量x，y间的关系可以表示成kxb（k，b为常数，k）的形式，则称y是x的一次函数.,总结,一次函数的定义,一次函数的结构特征有哪些？,次数为1,取一切实数,y = k x (k0的常数),一次函数,正比例函数,当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数,正比例函数是一种特殊的一次函数,思考,下列语句中,具有正比例函数关系的是( ). A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的 关系; B.正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的 关系; C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间 的关系; D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.,C,练习1,2、下列说法正确的是（ ） A.一次函数是正比例函数. B.正比例函数不是一次函数. C.不是正比例函数就不是一次函数. D.正比例函数是一次函数. 3、当m= _ 时，函数y=xm+4x-5（x0）是一个一次函数。,D,1或0,练习1,已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。,x,y,-4 -2 0,-2 -6 -10,8,4,0,1,3,5,练习 2,写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？,(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;,y =60x,探究3,（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.,由圆的面积公式，得 y=x2,（3）某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3 /h，x 小时后，水池内有水ym3 .,y = 5x+15,下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？,它是一次函数，不是正比例函数.,它不是一次函数，也不是正比例函数.,它是一次函数，也是正比例函数.,它不是一次函数，也不是正比例函数.,它是一次函数，也是正比例函数.,练习3,解:当月收入大于3500元而又小于5000元时,y=(x3500)3%,即y=0.03x105；,（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式；,我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)3%=10.8（元）,当x=4160时,y=0.034160105=19.8(元)；,（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？,解答,（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？,因为(50003500)3%=45(元),19.245,所以此人本月工资、薪金收入低于5000。,设此人本月工资、薪金收入是x元，则,19.2=0.03x105；,解得x=4140,即此人本月工资、薪金收入是4140元。,解答,注:正比例函数是一种特殊的一次函数.,一次函数、正比例函数定义及一般形式？,小结,2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式 _，s是t的_函数.,，当x=1时, y的值是（ ）,达标测试,一次,C,1. 函数y=2x-3,A、1 B、0 C、1 D、5,3.已知正比例函数y=2x中, (1)若0 y 10,则x的取值范围为_. (2)若-6 x 10,则y的取值范围为_.,0 10,-6 10,0x5,-12y20,4.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时, (1)此函数为一次函数； (2)此函数为正比例函数.,解:(1)由题意得， k = 2-m0, m2,所以m2时, 此函数为一次函数.,(2)由题意, k = 2-m0, 解得，m2， 又因为b = 2m-3= 0, 解得，m= 所以当 m= 时,函数为正比例函数y= x.,5.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元. (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x50)的函数关系式；,解: (1) 根据题意得: 有y=25+(x50)0.2 , 即 y=0.2x+15;,(2)求出月通话150次的电话费； (3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.,(2) 当x=150时, y=0.2150+15=45;,(3) 因为53.6 25,可知通话次数大于50次,即当y=53.6时, 53.6=0.2x+15,解得 x=193.,1、已知函数 ,m为何值时，y是x的一次函数？,解：由题意可知 解得m=-3 当m=-3时， y是x的一次函数。,应用提高,22,2、已知y与x3成正比例，且当x4时y3 (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系； (3)求x2.5时，y的值,解 (1) y与x3成正比例, 设yk(x3) 又x4时，y3， 3 k(43)，解得k3， y3(x3)3x9 (2) y是x的一次函数 (3)当x2.5时，y32.57.5,解：由x=2时y=-1,得 -1=2k+b； 由x=5时y=8,得 8=5k+b. 解二元一次方程组 得 k=3, b=-7. k的值为3, b的值为-7。,3、已知一次函数y=kx+b,当自变量x=2时， 函数值y=1；当x=5时，y=8。求k、b的值。,
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