《概率论与数理统计》第一章(修改).ppt

概率论与数理统计,开课学院：信息学院数学系,参考书：1.概率论与数理统计教与学参考阎国辉主编中国致公出版社2.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题龙永红主编高等教育出版社,概率论是研究什么的？,概率论与数理统计的研究对象随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,序言,第一章随机事件及其概率,第一节随机事件,第三节条件概率,第四节事件的独立性和伯努利概型,第二节随机事件的概率,第五节习题课,一、概率论研究对象:随机现象,3.随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表示为E,第一节随机事件,1.确定性现象(或必然现象)在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100肯定会开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性),2.随机现象(或不确定性现象)在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果.如抛一枚硬币,观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果.,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重.,随机试验例子,随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.,1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为2.样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为,二、概率论的研究范畴:样本空间(P4),随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定的.例如连续抛一枚硬币两次,如果观察正面或反面朝上的情况,并用数字1表示正面朝上,数字0表示反面朝上,三.随机事件,1.定义随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件,简称事件.记作A、B、C等显然，随机事件在试验中可能发生也有可能不发生.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素2.两个特殊事件:必然事件、不可能事件例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000P(A)?何时P(A|B)P(B),P(B/A3)0,则事件A与B的交的概率P(AB)P(A)P(B|A)或者P（A）0时,P(AB)P(B)P(A|B)称为事件A、B的概率乘法公式。,上式可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).如何证明?一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,二、概率乘法公式,例1设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件上不放回地连续取三次,每次取一个求:(1)三次都取得一等品的概率;(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.,1,1,1,1,1,1,1,(2)分析:三次中至少有一次取得一等品,包括正好取得一件一等品,正好取得两件一等品和正好取得三件一等品这三种情形,直接计算比较烦琐,以下用逆事件求解,即三次都是非一等品,1,1,1,1,1,1,1,例210个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回).甲先乙次丙最后,求:(1)甲抽到难签的概率;(2)甲和乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到而乙抽到难签的概率;(4)甲,乙和丙都抽到难签的概率.,难,难,难,难,易,易,易,易,易,易,解设事件ABC分别表示甲乙和丙各抽到难签,于是有,例3盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解设Ai为第i次取球时取到白球，则所求概率为,【返回】,(一)全概率公式,本节先用树图解决一些概率问题,然后再提炼出全概率公式,例1连续两次掷一枚均匀硬币两次,所有可能的结果有哪些?出现一次正面一次反面的概率是多少?,解样本空间为=(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)事件A=(正,反),(反,正),故P(A)=2/4=1/2,用树图求解如下,设Ai表示第i次出现正面(i=1,2),正,反,正,反,正,反,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,第一次,第二次,从右边树图可以看出到达事件A=一正一反有两条路径(加法原理),而每一条路径分为两步(乘法原理),于是所求的概率为,三、树图在概率计算中的应用,例2在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行反击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被击落,则继续攻击乙机,击落乙机的概率为0.4;求在这几个回合的较量中:(1)甲机被击落的概率;(2)乙机被击落的概率.,乙机落,乙机未落,甲机落,甲机未落,乙机落,乙机未落,第一回合,第二回合,第三回合,习作题猎人在100m处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑使距离变为150m;如果第二次未击中,则进行第三次射击,此时距离变为200假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情下击中动物的概率.(p35第17题),击中,未击中,击中,击中,未击中,第一次射击,未击中,第二次射击,第三次射击,例3.某厂有(1)(2)(3)三条生产线生产同一种产品，已知各条生产的产量分别占该厂总产量的25%、35%、40%，各条和产线的产品的次品率分别为5、4、2，将该厂所有产品混合投放市场,某消费者购买该厂的一件产品,求这件产品是次品的概率。,B,A1,A2,A3,B,上图可表示成右下树图:,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。,B,A1,A2,A3,B,上图可表示成右下树图:,例5.某有外形相同的球分为三个盒子,每盒有10个球,其中第一个盒子中有7个标有字母a3个标有字母b第二个盒子有红,白球各5个第三个盒子有红球8个白球2个.试验按以下规则进行:先在第一个盒中任取一球,若取得标有字母a的球,则第二次在第二个盒中再任取一球若取得标有字母b的球,则第二次在第三个盒中再任取一球,求第二次取出的球是红球的概率。,a,a,a,a,a,a,a,b,b,b,A1,A2,B,上图也可表示成右边树图,于是得:,定义事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,B,A1,A2,An,树图表示,定理1、(p22)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,公式称为全概率公式。,习作题(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球;A2从甲袋放入乙袋的是红球;B从乙袋中任取一球是红球;则,甲,乙,第一种可能,第二种可能,上图可表示成右边树图,于是得:,A1,B,A2,例1:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为2、1、3,现有某消费者从市场上购得该品牌产品而且是次品,问这件次品最有可能是哪个工厂的产品?,次品来源图,0.25,A1,0.02,B,A2,0.25,0.01,0.5,A3,0.03,先求总的次品率,(二)贝叶斯公式,例2商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解设B表示从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0,A1,A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,例3数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,解：设A-发射端发射0,B-接收端接收到一个“1”的信号.,发射信号0,0.55,发射信号1,0.45,接收信号01不清,0.9,0.05,0.85,0.05,0.1,0.05,定理2设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,上式称为贝叶斯公式。,贝叶斯公式也可以理解为,已知某个结果B出现,寻找这个结果是由各种原因Ai引起的概率.,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,【返回】,引例设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中有放回地连续取二次,每次取一个求:第二次都取得一等品的概率.,第四节事件的独立性和伯努利概型,1,1,1,1,1,1,1,定义1设A、B是两事件，P(A)0,若P(B)P(B|A)则称事件A与B相互独立。上式等价于:P(AB)P(A)P(B),一、两事件独立,定理、以下四件事等价：(1)事件相互独立；(2)事件相互独立；(3)事件相互独立；(4)事件相互独立。,?,思考题:互不相容事件和独立事件有关系吗?你能否给出直观的解释?,二、多个事件的独立,(一)多个事件两两独立,例2一均匀正八面体,其第1,2,3,4面染红色,第1,2,3,5面染白色,第1,6,7,8面染黑色,以A、B、C分别表示投一次正八面体出现红、白、黑事件,则有,(二)、多个事件的独立性的定义,定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立.,定义3(p26)若n个事件A1,A2,An(n3),若其中任意k个事件,?,思考题:你能否解释该式子?,解释:,(三)应用独立性计算概率,1.应用公式计算概率,?,你能用加法公式求解吗?,例2袋中有2个白球3个黑球.有放回地取两次,每次取一个,求两次取到的球都是白球的概率.,例3对同一目标独立进行三次射击,第1、第2、第3次射击的命中率分别为0.4、0.5和0.7,求:(1)三次中恰好有一次击中目标的概率;(2)三次中至少有一次击中目标的概率.,例4用高射炮射击飞机,若每门炮击中飞机的概率为0.6,欲以99%的把握击中飞机,问至少需要配置多少门高射炮?,您能用加法公式求解吗?,习作题:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完的概率也是1/2.各家图书馆是否购进该书相互独,问该学生能够借到书的概率是多少？,习作题：1.设事件A、B、C、D相互独立则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点的概率是多少?,【解答】,【解答】,PLAY,将一枚硬币独立地掷两次,引进事件A1=掷第一次出现正面A2=掷第二次出现正面,A3=正、反面各出现一次,A4=正面出现两次,则有结论()成立.A1、A2、A3相互独立;(B)A2、A3、A4相互独立;(C)A1、A2、A3两两独立;(D)A2、A3、A4两两独立;,【解答】,加法公式,独立性的定义,提取公因子,加法公式,【返回】,【返回】,3.解样本空间=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),A1=(正,正),(正,反),A2=(反,正),(正,正)A3=(正,反),(反,正),A4=(正,正),【返回】,例1一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性,一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性.设一个系统由四个元件按右图组成,各个元件能否正常工作是相互独立的,且每个元件的可靠性都等于p(0p1),求这个系统的可靠性。,2.独立性在可靠性理论上的应用,解设Ai表示第i个元件能正常工作(i=1,2,3,4),事件A表示系统LR能正常工作，则有,加法公式,德摩根定律,例2如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,由全概率公式,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,【返回】,一.伯努利概型的特点1.重复:试验重复进行n次;2.独立:每次试验是独立的,即每次试验结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果.3.每次试验的结果只有两个,即事件A出现或是不出现.,三、伯努利概型,二.伯努利概型的计算事件A在n次独立试验中恰好出现(发生)k次的概率.定理在伯努利概型中,设事件A在每次试验中发生的概率为P(A)=p(0p1),则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为,定理的解释:先看比较简单的试验,试验共进行3次,求在这3次试验中事件A正好发生2次的概率.,事件A在3次试验中出现2次的可能情况如下:,试验,概率,第一次,第二次,第三次,乘法原理,第一次,第二次,第三次,第一次,第二次,第三次,三.常见题型,另解,分析第10次试验才取得4次成功的含义为:第10次为成功,而在前9次试验中,试验成功3次(伯努利试验),由乘法原理可得,例7假定射击中每次最多击中10环,已知某运动员在每次射击中击中10环、9环、8环的概率分为0.4、0.3、0.2,求该运动员在5次射中总环数不少于48环的概率.,分析总环数不少于48环,有以下四种情形:(1)5次都击中10环;(2)4次击中10环,1次击中9环;(3)3次击中10环,2次击中9环(4)4次击中10环,1次击中8环.可由加法原理求得概率.,习作题某数学试卷上有6道选择题,每道题4分,每题有4个备选答案,其中只有一个正确.今有一考生只会做4道题,每道题做对的概率为0.8;另2道题不会做,只能瞎猜,求考生得到16分的概率.,提示能得16分相当于做对了4道题,其可能结果是(1)会做的4道题全做对;(2)会做的只对3题,猜对1题;(3)会做的只对2题,猜对2题.,例8一个平面上的质点从原点出发作随机游动,若每秒走一步(步长为1),向右走的概率为p,向上走的概率为q=1-p(0p1)(1)8秒钟走到点A(5,3)的概率是多少?(2)已知它8秒钟走到了点A(5,3),求它前5步均向右走,后三步向上走的概率是多少?,解(1)记B到达点A(5,3),则事件B发生相当于8次试验中向右走了5步,向上走了3步,故所求的概率为,(2)记C-前5步均向右走,后三步向上走.所求的概率为P(C/B),例9某厂生产的每台仪器可直接出厂的占0.7,需要调试的点0.3,调试后能出厂的占0.8,不能出厂的不合格品占0.2.现新生产n(n2)台仪器(设每台仪器的生产过程是相互独立的),求:(1)全部仪器能出厂的概率;(2)恰有两台不能出厂的概率;(3)至少有两台不能出厂的概率.,直接出厂,需调试,能出厂,不能出厂,0.7,0.3,0.8,0.2,【返回】,第五节习题课,三.全概率公式、贝叶斯公式,二.概率的加法公式、乘法公式、条件概率,一.选择题,答案,D,【解答】,【解答】,B,答案,B,【解答】,答案,一.选择题,答案,C,【解答】,【解答】,答案,A,答案,A,【解答】,答案,B,PLAY,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,二.加法公式、乘法公式、条件概率,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,7.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现今年龄为20岁的这种动物能活到25岁的概率是多少?,8.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,求它是被甲击中的概率是多少?,【解答】,【解答】,9.一批灯炮共100只,次品为10%,不放回抽取三次,每次取一只,求第三次才取到合格品的概率.,【解答】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,7解设A-这种动物活到20岁B-这种动物活到25岁,【返回】,【返回】,能活25岁必定能活20岁B发生导致A的发生,【返回】,1袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取,取后不放回,求第二个人取到黄球的概率.,三.全概率公式与贝叶斯公式,【解答】,2商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只.次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱,从中任选4只检查,若无次品,便买下了这一箱,否则退回.问(1)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有次品的概率.,【解答】,3.设工厂A和B的产品的次品率分别为1%和2%,现从现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,求:(1)取出的一件是次品的概率;(2)该次品来自于哪一个工厂的可能性大?,【解答】,4.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品;乙箱仅装有3件合格品,先从甲箱任取3件放入乙箱,再从乙箱中任取一件,求取出的该件产品是次品的概率.,【解答】,5.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份;现随机地取一个地区的报名表,从中先后抽取两份,求:(1)求先抽到的一份是女生表的概率;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.,【解答】,【返回】,解A1-第一个人取出的球为黄球;A2-第一个人取出的球为白球;B-第二个人取出的球为黄球;,20/50,30/50,19/49,20/49,第一人,第二人,你能把它与抽签问题联系在一块吗?,解设B表示顾客买下所抽查的一箱;A0,A1,A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,【返回】,3解设-B取到的是次品;A1-取到A厂的产品A2-取到B厂的产品.,【返回】,【返回】,合,合,次,合,次,次,甲箱,合,合,合,次,次,次,乙箱,合,合,合,次,次,合,乙箱,合,合,次,合,合,乙箱,合,合,合,合,合,合,合,乙箱,次,合,为什么这三个概率相等?,因为三个地区表分开放,报名表,地区1,女生,1/3,地区2,1/3,3/10,7/15,地区3,1/3,5/25,【返回】,