《中学数学方法论》PPT课件.ppt

中学数学思想方法论考试复习,2010年12月17日,考试情况简介,1、单选、多选、填空2、名词解释、问答,一、西方数学人物,克莱因：古今数学思想笛卡尔：方法论牛顿：曲线求积数流数术方法与无穷级数莱布尼兹：关于求极大极小和切线的新方法欧几里得：几何原本阿尔.花拉子模：代数学阿基米德，亚历山大洛夫等等。生活时代，代表著作以及在数学上的贡献。,如，莱布尼兹于1646年出生于德国东部莱比锡。其数学成就为，发明了微积分，论述了微分和积分的互逆关系，引入了积分符号，首先引进了函数一词，首先发明了二进位制。,笛卡尔1637年发表，附录第三篇是，这就是解析几何的起点。笛卡尔的中心思想是要建立一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来，主要是把代数方法用到几何上，用方程来研究曲线的性质。他创立解析几何的主要贡献在于引进，建立了，把形和数统一起来。,“变数”,方法论,几何学,坐标法,牛顿和莱布尼兹在微积分的工作中最大功绩是将两个貌似不相关的问题即（微分学的中心问题）和（积分学的中心问题）联系起来。,切线问题,求积问题,欧几里得（约公元前300年），他撰写过光学和圆锥曲线方面的文章，但他最广为人知的著作是几何原本（大约公元前320年编成），几何原本历来是最有影响和流传最广的数学著作，共13卷，它不但是已知数学知识的汇编，而且是演绎推理的典范。它从几条公理和公设出发，采用严格的演绎法，按照逻辑顺序推导出了一系列新的结论和命题，几乎包括了目前平面几何中的所有命题和定理。,几何原本书共有13卷它是从一系列定义、公设和“共同概念”开始，欧几里得试图根据这些定义、公设、公理，以绝对严谨的方式建立起几何学知识的大厦。这些共同概念后来被称为公理（或自明真理）。欧几里得给出5条公理：1等于同量的量彼此相等；2等量加等量，其和相等；3等量减等量，其差相等；4彼此重合的图形是全等的；5整体大于部分。,一、中国数学人物,郑爽：注释周卑骨刘徽：九章算术注祖冲之：圆周率：刘益、贾宪、沈括：秦九韶、杨辉元代：李冶、朱世杰,北宋,南宋,九章算术的内容与数学方法：内容：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。方法：分数算法，一般比率算法，组合比率算法，开方算法，面积和体积公式。,九章算术在数学历史上的地位及特色。地位：是中国传统数学的代表作；标志着中国初等数学理论体系的形成。特色：有明显的社会性和实用性的特征；以算法为中心的数形结合的算法体系；成果表现出构造性的特点。,二、数学发展史的分期,1、数学萌芽时期（公元前600年以前）数学的对象：社会生活和农业生产上的实际计算和测量问题。主要发明创造：总结出较完善的实际的计算方法和测量方法，形成自然数和分数以及一些简单图形的概念，建立了初步的算术和几何知识以及一些运算间的关系。,数学发展的特点：数学研究的对象是客观世界实际事物中的数量和图形，即初步的算术和几何的计算知识；数学概念的形成比较缓慢，没有形成严谨的科学体系；出现数学符号。,2、初等数学时期（常量数学时期）（公元前5世纪到公元17世纪初）数学的对象：客观事物在相对静止的状态下保持不变的数量和图形。在算术和几何知识的基础上，采用逻辑方法（主要是演绎法），把研究成果整理成为一门独立的系统的科学。主要发明创造：完善了算术，建立了代数、几何、三角形等学科，为变量数学发展积累素材。,数学发展的特点：由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段；采用逻辑方法（主要是演绎法），把研究成果整理成为演绎体系；建立算术、代数、几何、三角形等数学分支。,3、变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）数学的对象：客观事物在运动变化的状态下变化的数量和图形。主要发明创造：法国笛卡儿解析几何，英国牛顿莱布尼兹的微积分（解析几何和微积分是常量数学到变量数学的标志），实变、复变函数，微分几何，组合论，概率论等。,数学发展的特点：数学研究对象起了质的变化，从常量到变量，离散量到连续量，有限量到无限量；不仅用逻辑方法，还有辨证法；数学分析在发展中占主导地位；数学与自然科学相互促进。,4、近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）5、现代数学时期（20世纪40年代至今）,三、数学发展中几次有影响的悖论,1、芝诺所提出的阿利奇追龟说例：免子和乌龟赛跑，免子速度100米/分，乌龟1米/分，乌龟在免子前方100米，多长时间免子追上乌龟？,2、希帕索斯悖论勾股定理运用中，边长为1得正方形对角线2不能写成整数比pq形式。芝诺、希帕索斯悖论所产生得矛盾称为第一次数学危机，此危机所涉及得问题主要是：（1）无理数得表示问题（2）有限与无限的矛盾问题,3、贝克莱悖论贝克莱悖论引发的矛盾称为第二次数学危机。4、康托悖论和罗素悖论（集合论悖论）集合悖论引起的争论局面称为第三次数学危机。,为了解决数学基础的这次由集合论悖论引起的危机，把传统数学从集合论悖论和相容性问题所造成的危机局面中解救出来，由于所采取的观点和方法不同，形成了数学基础研究的三大派别,这三大学派在20世纪30年代之前展开了激烈的论争。,四、数学基础论的几个学派及其评价,逻辑主义学派：奠基者是德国弗雷格、英国罗素该学派主要研究数学与逻辑学的关系，认为数学问题可以归结为逻辑问题。基本观点是数学概念可以由逻辑命题出发，经由明确的定义而给出；数学的定理可由逻辑概念出发，经由纯粹的逻辑演绎推理而给出。,直觉主义学派：先驱是德国克罗内克，代表是荷兰布劳威尔基本观点是否定逻辑先于数学，对传统数学知识持批判态度；数学起源于直觉；数学必须能构造；逻辑法则；无穷观。,形式主义学派：代表德国希尔伯特基本观点：反对直觉主义无限观；提出排出悖论的方法；希尔伯特改造数学计划。,1、共同之处三大学派都是为了解决集合论悖论而产生的，可以说,解决集合论悖论，使数学的根基更加牢固，从而进一步发展是它们的共同目的。都是运用理性主义来构造数学，认为数学是一个欧几里得系统。2、不同之处逻辑主义为了避免悖论，想把数学建立在逻辑之上由纯逻辑就可以延展出全部数学，使数学的原有成果以逻辑为基础。,不同之处形式主义采用公理化方法,试图通过将数学理论形式化公理化并证明这种形式系统的相容性来避免悖论,且又保住现有数学的全部成果.这二个方案虽然不同,但目的却是一致的,即论证传统数学(已有数学理论)的合理性,使已经建成的数学大厦不至于坍塌.直觉主义则相反,“它要革传统数学的命,它认为产生悖论是传统数学的内在瘤疾,因此必须从根本上消除传统数学,建立一种全新的直觉主义哲学“直觉主义代表着数学上的“变革规范,体现出的是数学发展中质的变革。,三大学派的缺陷无视数学历史的发展,都没有看到数学是一个发展过程.逻辑主义和形式主义仅对数学作静态的逻辑分析,而没有进行动态的考察.直觉主义虽然在数学研究中引起了历史的思考,把数学当作一个创造过程,但这个过程仅是心灵创造的过程,仅是心灵创造的历史,并没有数学的历史.把相对真理看作是绝对真理,没有认识到数学发展是一个从相对走向绝对的过程,是一个不断由相对真理走向绝对真理的历史.数学虽然以严密性著称,但也没有必要为它提供一个绝对可靠的基础,数学也是允许修正,具有暂时性并逐渐发展的.,五、数学研究的方法,1、划分划分是数学研究的基本方法，是按照事物间的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。任何划分都包含三个部分：对概念的划分就是把一个概念按照一定的标准分为若干个种概念的逻辑方法。划分的母项是被划分的概念、划分的子项就是从母项划分出来的各个种概念，划分的标准就是据以划分的属性。,划分的母项、划分的子项、划分的标准,划分的方式：一次划分、连续划分、复分、二分法划分的基本要求：划分必须是相称的；划分的各子项之间的关系必须是不相容关系；每一次划分必须按同一标准进行；划分不能越级。2、抽象抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来，舍去其非本质属性进行考察的思维方法。抽象的方法：等价抽象，理想化抽象，可能性抽象。,观察、实验、比较、分析、综合、概况等一般方法的名词解释。3、化归化归的实质是解题者把新命题转化为其认知结构中相应的旧命题。新旧命题之间的关系有：下位关系：新从属于已有命题上位关系：新包容旧命题组合关系：新旧并列,六、数学的逻辑方法,逻辑思维的基本形式：概念、判断、推理。（一）概念和定义1、概念内涵与外延概念是反映事物本质属性的思维形式。数学概念是反映客观事物空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念的内涵与外延,是概念的基本特征,是准确把握概念和系统掌握知识的基础。概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的全部对象。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。,例如,“偶数”这个概念的内涵是“能被2整除”这个性质,其外延是所有偶数的全体。“一元二次方程”这个概念的内涵是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的等式”这个性质,其外延是一切形如ax2+bx+c=0(a0)的方程的全体。概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。,例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质,那就是三角形的内涵,而三角形的外延比等腰三角形的外延扩大了。不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。,2、概念间的关系：（1）相容关系外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两个概念称为相容概念。在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。同一关系:外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系。例如，“直线”与“一次曲线”这两个概念，又如,“等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的高”;“等边的矩形”与“直角的菱形”;在同一个圆中的“直径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。,交叉关系:外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系,称为交叉关系，这两个概念称为交叉概念。例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交叉关系。从属关系(包含关系):如果A概念的外延包含B概念的外延,那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念叫做B概念的种概念(或上位概念),B概念叫做A概念的类概念(或下位概念)。例如,“复数”、“实数”、“有理数”、“整数”它们之间的关系是从属关系。“复数”、“实数”、“有理数”都是“整数”的种概念。,(2)不相容关系外延互相排斥(没有公共部分)的两个概念之间的关系称为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。对立关系(反对关系)：如果某一概念的两个类概念A和B,其外延是互相排斥的,且这两个类概念外延之和小于它们最邻近的种概念的外延,那么这两个类概念A和B之间的关系称为对立关系这两个类概念称为对立概念。例如,“正实数”与“负实数”是对立关系的两个概念,因为它们的外延互相排斥,其外延之和小于它们最邻近的种概念“实数”的外延。又如,“大于”与“小于”、“锐角三角形”与“钝角三角形”、“质数”与“合数”、“等腰梯形”与“直角梯形”等概念的关系都是对立关系.,3、概念的定义定义是揭示概念的内涵的逻辑方法,它是明确概念的主要方法之一。(1)定义的组成定义由三个要素组成：即被定义的概念、已定义的概念和联系词。例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义,在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形”是已定义的概念,“是”是联系词。,(2)定义的方法1）“种加类差”定义法:公式为：被定义的概念(类)=最邻近的种概念(种)+类差。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。,2）发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法被称为发生定义法。这种定义法是种加类差定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。3）列举定义法:用列举概念的外延给概念下定义的方法称为列举定义法。4）外延性定义5）归纳定义6）公理化定义7）原始概念不加定义,4、定义的要求1）定义应当是相称的.所谓定义相称就是已定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大,也不能缩小,也就是通常说的不能过宽也不能过窄。定义过宽,就是下定义概念的外延大于被定义概念的外延。A、无理数是无限小数。B、直径是弦。此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。例A中的下定义概念“无限小数”的外延大于被定义概念“无理数”的外延。因为无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。,定义过窄,就是下定义概念的外延小于被定义概念的外延。例如:A、无理数是有理数的不尽方根B、各角为直角的菱形是矩形。例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。因为、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。,2）定义不能循环。在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。循环定义常有以下两种情况：A恶性循环。在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。例如,用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。这样定义概念不能揭示概念的内涵。B词语反复。用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己,这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。以下几例都犯了词语反复的错误。1互质数就是互为质数的数。2基础知识就是最基础的知识。,3）定义必须清楚确切。在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。例如,“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。这个定义既不清楚确切,也不简明。定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。还如，“两组边相等的四边形是平行四边形”。这样定义平行四边形也是不确切的,因为“两组边”是指的邻边呢?还是对边呢?似是而非,使人们像猜迷语一样去理解概念,是不允许的。,4）定义一般不用否定形式。定义应当从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示,一般不用否定形式。例如,“不是有理数的数叫做无理数”。这样定义无理数,它既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。但是,有些概念的特有属性就是它缺少的某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。,5、概念的划分概念的划分(或分类)是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。概念的划分就是把被划分的概念作为种概念,并根据一定的属性把它的外延分成若干个全异的类概念。通过对概念正确的划分,可以更深刻地理解概念，更系统地掌握概念。(1)划分的三个要素母项、子项和划分的依据。母项是划分的种概念,子项就是划分所得的类概念,划分的依据就是划分时所依据的标准。例如:根据边的相等关系三角形划分为等边三角形等腰三角形不等边三角形,(2)划分的类别划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。1）一次划分:只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。例如，根据奇偶性,整数划分为奇数和偶数。2）连续划分:包括母项和子项三个层次以上的划分,即把一次划分得出的子项作为母项,继续划分子项,直到满足需要为止。例如:整数正整数零负整数有理数分数正分数负分数,3）二分法:它是每次划分后所得的子项总是两个相互矛盾概念的划分法。它是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类,把恰好缺乏这个属性的对象作为另一类。例如,用二分法对复数划分。虚数纯虚数非纯虚数复数有理数正有理数正整数正分数非正有理数零实数负有理数负整数负分数无理数正无理数负无理复数,划分的规则1）划分应是相称的要求划分后所得的类概念外延的总和等于被划分种概念的外延。违反这一规则,会犯“多出子项”或“不完全划分”的逻辑错误。例如:A、自然数划分为质数与合数。B、梯形划分为等腰梯形、不等腰梯形和平行四边形。,2）每一次划分只能用一个根据划分的根据可以不同，但每次划分不能交叉地使用几个不同的根据,只能用同一个根据划分。否则划分的结果就会混乱不清,达不到划分的目的。例如,把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角三角形。,3）划分的子项必须互相排斥划分后所得的子项的外延不允许交叉、重叠，否则,就会对概念的认识更加模糊。如,“平行四边形划分为正方形、菱形、邻边不等的矩形”。因为正方形是菱形,这个划分也犯了“子项相容”的错误,而且还漏掉了“邻边不相等的平行四边形”。,4）划分不能越级在每次划分中,被划分的概念与划分出来的概念必须具有最邻近的种类关系,不能越级或跳跃式的划分。划分应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。例如:“把实数划分为整数、分数、无理数”就犯了“越级划分”的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。,（二）判断和命题1、判断与数学判断判断是对客观事物的一种认识,是对客观事物有所肯定或否定的思维形式,判断是概念与概念间的联系。数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。例如,“正数都大于零”、“有些一元二次方程无实根”等都是数学判断。判断有真有假。如果一个判断能如实地反映客观事物,在质和量上都能正确地反映客观事物的真实性而无虚设,那么这个判断就是真判断,否则就是假判断。,2、判断的种类按判断的量分类：全称判断、特称判断按判断的质分类：肯定判断、否定判断按判断的关系分类：直言判断、假言判断、选言判断,3、命题与数学命题命题是表示判断的语句，可分为直言命题、假言命题、选言命题。表达数学判断的语句或符号的组合称为数学命题。例如,“等角的余角相等”、“56”、“x2=0”、“a2-2ab+b2=(a-b)2”、“x1”、“ABCABC”等都是数学命题。由于判断有真有假,所以命题也有真假之分。数学命题一般由条件(前提)和结论两部分组成。条件是已知事项,结论是由条件推出的事项。,数学命题一般都表示为假言命题“若p则q”。由此命题可以构出另外三种命题形式：若q则p；若非p则非q；若非q则非p。分别称为命题“若p则q”的逆命题、否命题、逆否命题。原命题与逆否命题同真或同假，原命题的逆命题与否命题同真或同假。,4、逻辑连接词常用的逻辑连接词：否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当。5、复合命题及其真假值（略，186页起）用真值表或者推理规则,（三）推理概念与判断、判断与判断之间的联系就是推理。推理的种类：根据推理前提和结论间联系性质不同：必然推理、或然推理根据推理的思维进程不同：演绎推理、归纳推理、类比推理根据推理前提数目的多少：直接推理、间接推理常用的逻辑推理方法：归纳法、演绎法、类比法归纳法分为完全归纳法、不完全归纳法；不完全归纳法包括枚举归纳法、因果归纳法；因果归纳法分为：求同法、求异法、求同求异法、共变法、剩余法演绎推理、三段论（略）,证明：根据某个或某些真实命题和概念，断定另一个命题的真实性的推理过程。数学证明是指数学的逻辑证明。证明由论题、论据和论证三部分组成。论题待证明的命题；论据用于证明的判断；论证把论题和论据联系起来的一系列推理。证明的方法：反证法、同一法、反驳法。,（四）形式逻辑方法与辩证逻辑方法1、形式逻辑是以抽象思维的逻辑形式（逻辑思维形式）、逻辑思维规律和逻辑思维方法为其研究对象的科学。逻辑思维规律有同一律、矛盾律、排中律、理由充足律，前三者是保证思维活动具有确定性、一贯性和明确性，而理由充足律是保证思维的论证性。逻辑思维方法有定义、划分、限制与概括，论证等。,2、辩证逻辑的研究对象是思维的发展规律、思维形式的辩证性、辩证思维的方法以及人们获取正理的一般途径。辩证思维规律是对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律。数学中重要的对立统一关系：已知与未知，常量与变量、曲与直、有限与无限、连续与不连续。,七、数学思维方法,（一）数学思维的品质数学思维是以数学物象为思维对象，以数学语言符号为思维载体，并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维。思维的广阔性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的批判性。（二）数学思维方法数学逻辑思维方法、数学形象思维方法、化归方法、模型方法、公理化方法、无穷小方法1、数学逻辑思维方法的形式：形式逻辑思维方法（分析、综合、抽象、比较、分类、归纳）辩证逻辑思维方法（化繁为简、数形结合、顺推与逆推结合）,2、数学形象思维心理元素数学表象；从材料内容看，数学表象分为图形表象、图式表象；从创造性角度，分为记忆表象、创造性表象；从构成方面看，分为单象、复合象；从层次结构看，分为低级表象、高级表象。,