奇妙的图形密铺

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资源描述
.苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究案例案例一: 奇妙的图形密铺教学内容:苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P8687。教学目标:1、通过观察生活中常见的密铺图案,使学生初步理解密铺的含义。2、通过拼摆各种图形,认识一些可以密铺的平面图形,初步探索密铺的特点,了解密铺的条件。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案,使学生体会到图形之间的转换,充分感受数学知识与生活的密切联系,经历欣赏数学美、创造数学美的过程。教学重点:掌握密铺的特点,知道哪些平面图形可以进行密铺。教学难点:理解密铺的特点,了解密铺条件,能进行简单的密铺设计。教学过程:一、感受密铺观察与理解1.谈话导入:同学们,老师这有一幅图片,你能看出是从哪里拍来的吗?课件出示: 生答:某一个墙面。师:那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗?生:长方形。依次出示:师:这些呢?生:可能是地面或墙面,分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。师:我们常用这样的图形铺设墙面或地面,有什么好处呢?生:美观,平整,无空隙等。师:如果只用圆形地砖铺设地面,好不好?为什么?出示幻灯片生:不好。会有空隙。(师板书:空隙)师:那再铺一层不就行了?动态演示生:这样也不行,会有重叠。(师板书:重叠)师:也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙,要么就会重叠。再回过头来看,刚刚的三幅图片,它们铺的时候有什么共同特点?生:既无空隙,又不重叠。(师补全板书:既无空隙,又不重叠,铺在平面上)师小结:无论什么形状的图形,如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上,这就是平面图形的密铺。2、从刚出示的几幅图中,你知道哪些图形能够密铺吗?(正六边形、长方形、正方形)3.继续出示图片:课件出示:下面的三幅图,可以看作是密铺吗?为什么?生:第一幅图是密铺,因为每个三角形之间既没有空隙,也不重叠;第二、第三幅图都不是密铺,因为第二幅图图形之间有空隙,第三幅图图形之间是重叠的。3.联系生活、揭示课题。师:既然密铺的图形奇妙而美丽,生活中也有很多咱们一起来欣赏。 观看课件:生活中的密铺现象。(水立方,拼图,地面,墙面)师:的确,我们的生活离不开密铺,密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天,我们就一同走进图形密铺世界。(板书:图形密铺)二、探究密铺猜想与验证(一)我们先来研究一种平面图形的密铺1.课件出示:下面哪些图形也能密铺?2.学生猜测。3.动手操作、实践验证。(1)师:那么这些猜测都对吗?怎样知道大家的猜测是否正确呢?就让我们一起来动手来操作验证吧。学生动手操作交流。4.汇报结果、展示交流。师: 哪个小组说说你们的发现?生汇报:能密铺的图形有平行四边形、正三角形、等腰梯形。不能密铺的有圆形与正五边形。师课件展示部分作品验证。5、归纳:通过刚才大家操作验证,我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面,其他五种图形都能单独密铺一个平面。小结:正五边形和圆不能够密铺。6、延伸:师:咱们知道正三角形能密铺,那一般的三角形呢?为什么?(同桌交流)生:我觉得能。可以将两个完全一样的三角形通过旋转平移转化为平行四边形。之前验证了平行四边形能密铺。所以一般的三角形能密铺。师:那大家还能想到两个完全一样的什么图形能组成平行四边形?(梯形)(课件演示转化过程)小结:形状、大小完全相同的三角形或梯形可以密铺。7、猜一猜 怎样的图形能够密铺呢?学生说明猜想老师给大家准备了正多边形的密铺阅读材料,看了也许能给大家启发哦。学生自学 阅读材料1正多边形的密铺(1)学生汇报收获 (正方形,它的每个角都是直角,那么4个正方形拼在一起,在公共顶点处的4个角,正好拼成一个360度的周角。正六边形的每个角都是120度, 3个正六边形拼在一起时,在公共顶点上的3个角度数的和正好是360度,正三角形的每个内角都是60度, 6个正三角形拼在一起时,在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。)(2)师:正五边形不能密铺,现在你能解释了吗?生:360不是108的整数倍,在每个拼接点处的内角处不能保证没有空隙或重叠现象,所以正五边形不可以密铺。出示:360108=336(3)师:正八边形能密铺吗?解决这个问题,要知道什么条件呢?生:只要知道正八边形的一个内角是多少度就行了。师出示:(正八边形每个内角135)现在你能判断了吗?生:能。360135=290 ,正八边形不能密铺。(课件演示)(4)现在你能再说说看怎样才能密铺吗?小结:一周有360度,如果能正好把这360度铺严,(在公共顶点上几个角度数的和正好是360度 )就可以进行密铺。(5)师:平行四边形,长方形和梯形可以进行密铺,它们都是特殊的四边形,你想提出什么问题呢?生:任意的四边形可以进行密铺吗?通过动手拼一拼验证一下猜想。四人小组,动手验证交流。汇报,演示。师:通过动手去拼,发现任意的四边形可以进行密铺。那你能根据咱们刚刚总结的规律解释一下吗?生:公共顶点处四个角正好是四边形四个内角,四边形内角和360,所以任意的四边形可以密铺。(二)两种平面图形的密铺1、用同一种平面图形密铺图形会较为单调,看看下面的图形,与之前有何不同?(出示四幅组合密铺图形)生:之前是一种图形单独密铺,这几幅图是由两种或以上的图形组合密铺。师:你有什么感受?生:很漂亮,美观,色彩鲜艳等。小结:可以用同一种平面图形密铺,但生活中,常常为了使图案更加美观,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。2、用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?课件演示:小结:用同一种平面图形如果不能密铺,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。3、七巧板欣赏了这么多美妙的密铺图案,想不想自己动手试一试?(1)出示七巧板,七巧板表面这个图形属于密铺吗?它是由哪几种图形密铺而成的?你能从七巧板中选出几种不同的图形密铺一个平面吗?(2)操作要求:铺一铺:同桌合作,选几种不同的图形铺一铺,把你的作品保留在桌面上; 品一品:小组成员相互欣赏和介绍各自的作品。(3)学生作品欣赏与交流。(4)小结延伸通过刚才拼摆,你有什么发现?小结:原来,不仅用一种平面图形密铺一个平面,用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。设计师正是将数学与艺术的结合,用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案。三、欣赏与了解古往今来,许多艺术家、数学家对密铺都有浓厚的兴趣,咱们一起来了解密铺的历史吧。(1)学生阅读材料2密铺的历史(2)生发表感受与收获师:咱们刚刚都是用几何图形进行密铺,荷兰的艺术家埃舍尔用许多奇特的图形组成了密铺,像是人物、动物、甚至是一些凭空想象的事物,想不想一起来看看?生:想。出示埃舍尔人物图片及四幅作品展示。师:你看出是由什么图形密铺而成的吗?学生欣赏并说一说自己的发现(骑士和马、鸟、螃蟹、小丑)四、回顾与总结1、课后任务:自己设计一幅漂亮的密铺作品2、谈话:同学们,今天我们一起研究了图形的密铺,你有什么收获?师总结:是的,密铺就在我们的身边,无时无刻不在装点着我们的生活!希望大家学了今天的知识,能用眼睛去发现美,用心灵去感受美,用智慧去创造美。同时,它还是一门学问,在美丽的密铺后,还有太多的数学奥秘等待我们去探索。数学史料密铺的历史 1619年数学家奇柏(J.Kepler)第一个利用正多边形铺嵌平面。 1891年苏联物理学家费德洛夫(E.S.Fedorov)发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。 1924年数学家波利亚(Polya)和尼格利(Nigele)重新发现这个事实。密铺图形奇妙而美丽,古往今来,不少艺术家都在这方面进行过研究。最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)与密铺。Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时,对一种名为阿罕拉(Alhambra)的建筑物有很深的印象,这是一种十三世纪皇宫建筑物,其墙身、地板和天花板由摩尔人建造,而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案,并得到了启发,创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案,这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴,甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品,结合数学与艺术,给人留下深刻的印象,更让人对数学产生了另一种看法。 案例二: 有趣的七巧板教学内容:苏教版 二年级(上册) 第28-29页。教学目标:1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料,获取有用的知识,为利用七巧板拼摆图形,进一步丰富学生对图形的感性认识奠定基础。2、 通过拼摆等操作活动,培养学生的观察、操作、想象和一定的创造能力,发展空间观念。3、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法,并养成数学阅读的习惯,在阅读中增强民族自豪感。教学重难点:1、 通过阅读寻找出有关七巧板的资料,进一步丰富学生对图形的感性认识。2、 通过这节课让学生掌握寻找资料的方法,并养成数学阅读的习惯,在阅读中增强民族自豪感。教学准备:课件、七巧板学具教学过程:一、创设情境,导入新课同学们今天老师带来了一个谜语,想请同学们来猜谜,注意听:一二三四五六七,七个兄弟在一起,齐心合力拼图形,千变万化真神奇。(七巧板)是的,今天就让我们一起来认识这个新朋友,看看它有哪些本领。(板书:七巧板)二、介绍七巧板(1)集体阅读在课前大家收集了许多关于七巧板的资料,谁来当小老师给大家说一说(指名说)你是怎样收集到这些资料的?(上网、书店、图书馆)还有谁想说?(同桌说)(2)交流体会小朋友真了不起,收集了这么多关于七巧板的资料,听了这些故事你有什么感受?(指名说)(3)小结七巧板是古时候我们中国人发明的一种非常有趣的玩具,利用它可以重新组合成几百种不同的图形呢!你们瞧(屏幕出示很多图),变化多不多呀?外国朋友对我们中国的七巧板也很感兴趣,还给它取了个神奇的名字叫东方魔板。你们想不想来玩一玩这块东方魔板?三、初步感知,建立表象1.认识七巧板。谈话:老师也带来一副七巧板(点击课件)仔细观察:(1)分一分:一副七巧板中有几种不同的图形呢?分别是?(2)数一数:每一种图形有几个?(3)比一比:哪些图形是完全一样的?(学生回答后电脑演示)(4)小结:有几组完全一样的三角形?(2组)四、动手操作,深入探索1.用两块拼。(1)谈话:我们先来简单一点的,拿出七巧板中的两块拼出一个我们认识的正方形。你听懂了些什么?(2)学生拼图。(3)指名在实物投影仪上演示。任意2块吗?(不是,要是)(4)提问:你会再用这两块2块完全一样的三角形拼出其他图形吗? (5)学生拼图。(6)在实物投影仪上演示。(7)小结:用这两个完全一样的三角形,可以拼成正方形、三角形、平行四边形、菱形。2.用三块拼。(1)谈话:再请小朋友拿出七巧板中的三块拼出我们认识的图形。你想拿出哪三块?(2)学生拼图。(3)在黑板上展示,并让学生说说拼成了什么图形。小结:用这3块,可以拼成正方形、长方形、三角形、平行四边形、五边形、梯形。3.用四、五、六块拼。(1)谈话:这一次我们要来难一点的了,大家可以小组合作,共同完成。要求是用七巧板中的四块、五块、六块来排出我们认识的图形。(2)小组合作拼图。介绍本组拼成了什么图形,是用哪些图形拼的。 4.用七块拼。(1)谈话:七巧板不仅能拼出我们学过的图形,而且能排出我们生活中看到的各种有趣的图形。(点击课件)你们看看,这些图形像什么?(2)谈话:请小朋友拿出自己的七巧板,用里面的七块图形排出你喜欢的图形。 (3)参观、评点作品(有自评、他评)。(4)创新拼:你还想用七巧板拼出哪些图形?全班展示、评点作品五、全课总结,拓展延伸1.谈话:看了黑板上同学们的作品,有什么感想?数学史料 七巧板的来历“七巧板”又称“智慧板”,是我国古代的一种拼板工具。七巧板中有长方形、平行四边形和三角形。它的数目不多,却能拼出很多种图形,如能拼出从0到9的十个数字,或汉语拼音字母,也能拼出几何图形、动物、建筑物等。那简简单单的七块板,竟能拼出千变万化的图形。谁能想到呢,这种玩具是由一种古代家具演变来的。 宋朝有个叫黄伯思的人,对几何图形很有研究,他热情好客,发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”请客吃饭的小桌子。 后来有人把它改进为7张桌组成的宴几,可以根据吃饭人数的不同,把桌子拼成不同的形状,比如3人拼成三角形,4人拼成四方形,6人拼成六方形这样用餐时人人方便,气氛更好。 后来,有人把宴几缩小改变到只有七块板,用它拼图,演变成一种玩具。因为它十分巧妙好玩,所以人们叫它“七巧板”。 到了明末清初,皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐,拼成各种吉祥图案和文字,故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢! 18世纪,七巧板传到国外,立刻引起极大的兴趣,有些外国人通宵达旦地玩它,并叫它“唐图”,意思是“来自中国的拼图”。案例三: 用字母表示数教学目标:1、使学生初步理解用字母表示数的方法,会用含有字母的式子表示简单的数量,数量关系和计算公式。2、使学生完整地经历用含有字母的式子表示简单的数量,数量关系和计算公式的过程,进一步体会数学的抽象性和概括性,发展符号感。3、培养学生用字母表示数的意识和兴趣,使学生进一步产生对数学学习的好奇心。教学重难点:1、让学生经历由具体到抽象的字母,由具体的乘法算式到含有字母的乘法式子的过程。2、理解含有字母的式子表示的含义。教学过程:一、 唤起经验,主动建构 1 利用四张扑克牌,算“24点”游戏。课件呈现:6、7、A、10。师:同学们,玩过24点吗?现在屏幕上给出4张牌,大家来算一算。 生1:6 7 1 10 24。 生2:(10 7 1) 6 24。 师:你们算的很好,可这里没有1呀?生:A就是1。师:这里A表示特定的数1。 3 出示数列:2、4、6、m、10 师:我们来看这个有规律的数列,你们知道m表示多少呢? 生:m表示8。师:在算“24点”游戏中,在有规律的数列中,字母表示的都是特定的数。字母还能表示哪些数呢?今天我们一起来学习“字母表示数”。(出示课题)二、 层层递进,逐步建构 1 经历用字母表示数的抽象概括过程。 (1) 课件演示用小棒摆三角形,学生用式子表示摆不同个数三角形所用小棒的根数。师:摆1个三角形需要几根小棒?生:3根师:我们可以这样列式:1 3。板书(1 3)如果摆2个这样的三角形需要几根小棒,怎样列式?生:2 3。板书(1 3)师:如果这样摆3个呢?会写吗?4个呢?请把式子写在学习纸上的“书写天地”中。 学生书写、汇报,教师板书。 (2) 让学生在写式子的过程中,认识到用一个算式来表示摆三角形小棒根数的局限性,产生需要字母来表示的主观需求。师:一个式子可以表示摆的一种情况。谁能用更多的式子表示摆不同个数三角形时所用小棒的根数。生:学生继续写下去。 学生开始写式子,写着写着,相继停笔。 师:为什么不写啦? 生1:这样写下去,永远写不完。 生2:可以写许多式子,写不完。 (3) 寻求解决策略:用一个式子概括所有式子。 师:大家能不能想个办法,用一个式子概括所有的式子呢? 生1:a 3,a表示三角形的个数。 师:你创造了用字母来概括的方法。还有其他想法吗? 生2: 3,用“”表示许多三角形的个数。 生3:我 3,用“我”表示三角形的个数。 生4:a b,a表示三角形的个数,b表示3。 生5:b表示的一定是3,就应该直接写3,写成a 3。 师:同学们想出了许多种表示三角形个数的办法,有用字母的,有用标点符号的,还有用汉字的,为了便于理解和应用,在数学中我们选择用字母来表示。 (4) 同一题中可以用不同字母来表示。 师:除了用a表示三角形的个数,还可以用其他字母吗? 生1:可以写成b 3。 生2:也可以写成n 3。 生3:写成x 3。 师:可以用不同的字母表示三角形的个数。这时的字母可以表示几呢? 生1:可以表示5。 生2:可以表示1、2、3、4、5、6、7等等。 生3:可以表示自然数。师:看来,这里的字母所表示的数不再是特定的数了,而是变化的数,我们不确定的数,也就是未知的数。(板书:未知的数)师:刚才有同学说这个字母所表示的是自然数,那它不可以表示什么数? 生1:不可以表示小数,因为三角形的个数如果是小数,那就不完整,不是三角形了。生2:同样那也不能表示分数。师:所以我们字母表示数是有一定范围的。 2 初步理解含有字母的式子既表示数量,也表示数量关系。 (1) 出示年龄的表格,体会规律。 师:请问同学自我介绍下。 生:我叫某某,我今年多少岁。 师:你想指导老师的年龄吗?我不告诉你。只告诉我比她大15岁。 课件演示:老师比同学大15岁。 师:你知道我多少岁嘛?能用式子表示吗?生:10+15。 师:大家猜一下,她1岁时,老师可能是几岁呢? 生:1+15。师:她7岁时,老师可能是几岁呢?生:7+15。 师:随着她慢慢长大,当她到20岁时,陈老师几岁了?生:20+15。 师:像这样我们还能继续写下去。你能用一个式子来表示这么多式子吗? 许多同学举手想说。 生1:用a表示同学的年龄。 生2:那么,a + 15表示的就是老师的年龄。 (2) 将字母作为数学对象,理解意义。师:回答很好,你知道这里a和前面的a意义是否相同吗?生:不一样,前面表示的是三角形的个数。这里表示年龄。师:前面a可以取任意自然数,这里呢?我们可以取200,300,500吗?生:不可以,人活不到这么长。师:老师上网查询了,曾经的长寿冠军是122岁。所以啊,字母表示数在不同的题目中是有范围的。师:a + 15这个式子告诉我们什么呢?生:老师年龄和老师比她大15岁。 (4) 体会数学研究的是千变万化中不变的关系。师:在这里我们不难发现,学生的年龄是变化的,老师的年龄也是变化的,然而“a + 15”所表示的数量关系却是不变的。正如开普勒所说,数学就是研究千变万化中不变的关系。(板书:表示数量关系)3 进一步去理解含有字母的式子既表示数量,也表示数量关系。师:我们继续往下看。学校有美术组24人,书法组比美术组多6人,纳闷书法组多少人?你能用式子表示吗?生:24+6师:这里24+6我们能知道哪些信息?生:表示书法组人数,和书法组比美术组多6人。师:我们继续看,舞蹈组比美术组多9人,舞蹈组有多少人?生:24+9师:现在合唱组比美术组人数多,但我们不知道具体多的人数,这里我们可以用什么来表示?生:字母师:很好,我现在用x表示。问合唱组有多少人?生:24+x师:如果x=10呢?口算生:34师:如果x=14呢?生:384 用规定的字母表示计算公式。 (1) 关于正方形周长与面积的计算公式。 学生书写,板书交流。 师:这里的a表示的是什么? 生:正方形的边长。 师:那么,这里的a除了可以表示非零自然数外,还可以表示哪些数? 生1:可以表示小数。 生2:还可以表示分数。 师:刚才表示三角形的字母只能表示自然数,看来,在不同情况下,字母所表示的数的范围是不一样的。 (2) 关于含有字母的乘法式子的简写。 学生自学,汇报板书。小结:在含有字母的乘法式子中,数与字母相乘,或是字母与字母相乘,乘号可以简写成“”,也可以省略不写。数与字母相乘时,数要写在字母之前。 4. 练习。 (1)省略乘号,写出下面的式子。 4b可以写成4b。 x5可以写成5x。 ac可以写成a c,也可以写ac。 1m可以写成m。(2)口答1b x1 a1 1k(3)练习1、填一填xx( )( )( ) 2、直接写得数 = = = 24= 三、 拓展应用,完善建构 1你是小导游。 出示某旅游平面图,图中标出南湖一小、莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园等4个场所的位置及各场所之间的距离(有用字母表示的,有用数表示的)。 用含有字母的式子表示两地之间的距离:从南湖一小分别到莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园需要多少路程? (1) 莫愁湖公园。 结合莫愁湖门票a元,让学生在括号里填上含有字母的式子。 (2) 奥体中心。 一起朗读一篇数学日记,完成填空。使学生进一步感受用字母表示数的概括性和抽象性。(3) 红山动物园。红山动物园来了新的来宾:鸵鸟。别看他们在散步,他们跑起来可快了。学生根据以上题中信息填空。并整理路程和时间,速度的关系。 2编儿歌:数青蛙。一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿 四、 总结反思,拓展延伸 1 让学生说一说这节课的主要收获以及感觉遗憾的地方。 2 课件播放短片,简单介绍用字母表示数的发展过程。数学史料乘号的来历同学们你知道乘号的来历吗?17世纪前,有人用过字母M表示乘法。M是拉丁文(mutiply)中的乘单词的第一个字母。显然,用字母参与乘法运算时相当繁琐的。1631年,英国数学家奥特雷德发现乘法也是相加的意思,但是又和加法有所不同,怎样表示更合适呢?他想:能不能把“”旋转45度角,斜过来用“”表示乘法呢?当奥特雷德的这种设想成为现实时,乘号“”便问世了。 奥特雷德但是数学家莱布尼兹认为乘号“”和拉丁字母“x”很相似,容易引起混淆,所以他反对使用这个符号。他很赞成数学家哈里奥特首创的符号“ ”表示乘法。这个点乘号被整个欧洲大陆和拉美国家所普遍采用。但这个记号和小数点号相似,容易引起新的混淆。后来有人干脆用逗号“,”来代替原点,但这种方法迄今没有被人所接受。 莱布尼兹实际上,“”和“ ”这两个乘号同时被使用着,一直沿袭到今天。代数之父韦达三百多年前的一位法国数学家韦达首先使用了字母表示数,认为字母不只代表一个数,而且能代表很多数,甚至可以代表无穷多的数。按照这个办法,人们解决了许多问题。这种用字母代替数的思想就是代数思想,所以人们称韦达是代数之父。.
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