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第六章圆6.2图形的相似,中考数学(广东专用),考点相似三角形的判定与性质,A组2014-2018年广东中考题组,五年中考,1.(2018广东,7,3分)在ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则ADE与ABC的面积之比为()A.B.C.D.,答案C因为D、E是边AB、AC的中点,故DE是ABC的中位线,所以DEBC,所以ADEABC,且相似比是,所以它们的面积比是.故选C.,方法总结本题考查了三角形中位线的性质,相似三角形的性质.熟练运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个性质是解题的关键.,2.(2018深圳,16,3分)如图,在RtABC中,C=90,AE、BD分别平分BAC、ABC,若AF=4,EF=,则AC=.,答案,AFD=45.过点D作DGAE于G,连接CF,DF=,DG=FG=1,AF=4,AG=3,AD=,ACF=45=AFD,DAF=CAF,ACFAFD,=,AC=.,方法总结本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质定理、锐角三角函数和勾股定理.添加辅助线构造相似或全等三角形是常用的解题手段之一;添加辅助线构造直角三角形是运用勾股定理或锐角三角函数求线段长的常用方法.,3.(2018广州,16,3分)如图,直线CE是ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F.则下列结论:四边形ACBE是菱形;ACD=BAE;AFBE=23;S四边形AFOESCOD=23.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号),答案,解析由直线CE是边AB的垂直平分线可得AC=CB,所以CAB=CBA,由四边形ABCD是平行四边形可得ABCD,ADBC,所以CAB=ACD,BAE=CBA,所以CAB=ACD=BAE,故正确.由CAB=BAE,AO=AO,AOC=AOE可得AOCAOE,从而AE=AC,又AC=BC,AE=BC,又AECB,所以四边形ACBE是平行四边形,又AC=BC,四边形ACBE是菱形,故正确.由AOCD,可得=,=,故错误.设SAFO=S,由=,可得SCFO=2S,再根据AFOCFD可得SDFC=4S,所以SCOD=6S,SCOA=3S=SAOE,所以S四边形AFOE=4S,所以S四边形AFOESCOD=4S6S=23,正确.,思路分析可先证明四边形ACBE是平行四边形,再证明AC=BC,即可证明四边形ACBE是菱形,可知正确;根据垂直平分线的性质、等边对等角、平行线的性质定理及等量代换去分析;利用相似三角形的性质去分析和.,精彩点评本题考查了平行四边形的性质和判定定理,菱形的判定定理,垂直平分线性质定理,相似三角形的判定和性质定理.,4.(2017广州,16,4分)如图,平面直角坐标系中O是原点,OABC的顶点A,C的坐标分别是(8,0),(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD,CE分别交OA,AB于点F,G,连接FG,则下列结论:F是OA的中点;OFD与BEG相似;四边形DEGF的面积是;OD=.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号),答案,C(3,4),OC=5OA,OABC不是菱形,DOFCOD=EBG,F(4,0),C(3,4),CF=COF,DFOEBG,ODF=COD+OCD,ODFCOD=EBG,故OFD与BEG不相似,故错误;由得,点F是OA的中点,同理可得点G是AB的中点,FG是OAB的中位线,FGOB,NQ=AQ,FG=OB,点D,E是线段OB的三等分点,DE=OB,SOAB=OBAN=OABM=84=16,OBAN=32,DEFG,四边形DEGF是梯形,S四边形DEGF=OBNQ=OBAN=,故正确;OD=OB=,错误.综上,正确.,5.(2017深圳,16,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN中,MPN=90,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=.,答案3,解析如图,作PQAB于点Q,PRBC于点R.由等量代换,易得QPE=RPF,QPERPF,PE=2PF,PQ=2PR=2BQ.在RtABC中,AB=3,BC=4,AC=5.易证AQPABC,AQQPAP=ABBCAC=345,记PQ=4x,则AQ=3x,PR=BQ=2x,=.AP=AC=3.,6.(2015广东,14,4分)若两个相似三角形的周长比为23,则它们的面积之比是.,答案49,解析相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比,所以面积的比为49.,7.(2015梅州,12,3分)已知:ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与ABC相似,则需要增加的一个条件是.(写出一个即可),答案F是AC的中点(或EFBC或AEF=B或AEF=C或AFE=B或AFE=C),解析答案不唯一,根据三角形相似的判定方法相应添加条件即可.,8.(2017广东,25,9分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连接BD,作DEDB,交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空:点B的坐标为;(2)是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;(3)求证:=;设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用的结论),并求出y的最小值.,解析(1)(2,2).(2)存在.AD=2或AD=2.AO=2,CO=2,OCA=30,AC=4.当点E在线段OC上,如题图(1),DE=EC时,则EDC=30,BDC=60.又OCA=30,DCB=60,BDC是等边三角形,DC=BC=2,AD=2.当点E在OC的延长线上,如题图(2),DC=CE时,则CDE=15,CDB=105,ADB=75.又DAB=30,ABD=75,AD=AB=2.(3)证明:过点D作MNOC,分别交AB,OC于点M,N,BDE=90,MDB+NDE=90,NDE+DEN=90,MDB=DEN,DMB=DNE=90,ENDDMB,=tan30=.AD=x,DM=,AM=,BM=2-,BD2=BM2+DM2=+=x2-6x+12,y=DEDB=DB2=(x2-6x+12)=(x-3)2+,0x4,当x=3时,y取最小值,y的最小值为.,深度解析此类题是广东中考的常见压轴题:和动点相关的代数与几何综合题.本题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的应用、勾股定理、二次函数的最值问题、存在性问题等.解析动态几何问题中的存在性问题,主要方法是“以静制动”,即需要根据问题画出相应的图形,此处多数会用到分类讨论的数学思想.只要把图形画出来,“动”的问题就成了“静”的问题,就达到了我们“以静制动”的目的.,9.(2016广州,23,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A,点D的坐标为(0,1).(1)求直线AD的解析式;(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当BOD与BCE相似时,求点E的坐标.,解析(1)设直线AD的解析式为y=kx+b(k0),把点A,D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得解得直线AD的解析式为y=x+1.(2)BOD与BCE相似,且BOD是直角三角形,BCE也是直角三角形.在BCE中,EBC为锐角,BCE是直角三角形分两种情况:BCE=90或BEC=90.如图1,过点C作CEx轴交直线BD于点E,此时BODBCE,BOD=BCE=90.,图1将y=0代入y=-x+3得-x+3=0,x=3,C(3,0).将x=3代入y=x+1,得y=3+1=,E.如图2,过点C作CEBD于点E,过点E作EHx轴于H,图2此时BODBEC,BOD=BEC=90,把y=0代入y=x+1得x+1=0,x=-2,B(-2,0),OB=2.D(0,1),OD=1.EBC+BEH=BEH+HEC=90,EBC=HEC,即DBO=HEC,tanDBO=tanHEC,tanDBO=,tanHEC=,=,点E在直线y=x+1上,设E,则点H(x,0),点C(3,0),CH=3-x,EH=x+1,=,=,解得x=2,经检验x=2是原方程的解,x+1=2+1=2,E(2,2).综上所述,当BOD与BCE相似时,点E的坐标为或(2,2).,思路分析(1)用待定系数法求直线AD的解析式;(2)分类讨论,求点E的坐标.,易错警示只考虑BEC=90的情形,忽略了BCE=90的情形,造成漏解.,考点相似三角形的判定与性质,B组2014-2018年全国中考题组,1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.2,答案C在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是()A.=B.=C.=D.=,答案C根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.,3.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F.若=,则=()A.B.C.D.1,答案Babc,=,又=,=,故选B.,4.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形与原三角形的是(),答案C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.,5.(2018吉林,12,3分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=m.,答案100,解析易知ABDECD,=,又BD=120m,DC=60m,EC=50m,AB=100m.,6.(2018内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若SAEF=1,则SADF的值为.,答案,解析3AE=2EB,=,又EFBC,AEFABC,=,SAEF=1,SABC=.在ABCD中,SACD=SABC=,SADF=SACD=.,思路分析根据3AE=2EB,得=,由EFBC,得AEFABC,根据相似三角形的性质及SAEF=1求得SABC,由SACD=SABC及SADF=SACD可求得SADF.,7.(2014黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在ABC中,4AB=5AC,AD为ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EFAD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则的值为.,答案,解析EFAD,FG=FD,EF垂直平分GD,EG=ED,EGD=EDG,AGH=ADB,又BAD=HAG,ABDAHG,=.4AB=5AC,AH=AC,=,=,=.=.,8.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.,解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.,思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法总结证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.,9.(2018内蒙古呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与O的交点,点D是MB与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.(1)求证:PD是O的切线;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)证明:连接OD、OP,=,A=A,ADMAPO,ADM=APO,MDPO,1=4,2=3,OD=OM,3=4,1=2,又OP=OP,OD=OC,ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90,ODP=90,ODAP,又OD为半径,PD是O的切线.(2)由(1)知PC=PD,连接CD,AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径).在RtAOD中,OD2+AD2=OA2,R2+122=9R2,R=3.OD=3,MC=6,=,AP=18,DP=6.又MDPO,O是MC的中点,=,点P是BC的中点,BP=CP=DP=6,又MC是O的直径,BDC=CDM=90,在RtBCM中,BC=2DP=12,MC=6,BM=6.易知BCMCDM,=,即=.MD=2,=.,思路分析第(1)问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形,进而得到角相等;第(2)问需要先求出半径,进而借助相似三角形的性质和判定解决.,解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形,并综合运用相关几何知识解决问题.,10.(2017上海,21,10分)如图,一座钢结构桥梁的框架是ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中点,且ADBC.(1)求sinB的值;(2)现需要加装支架DE、EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EFBC,垂足为点F.求支架DE的长.,解析(1)ADBC,ADB=90.D为BC的中点,BC=18米,BD=9米,又AD=6米,AB=3(米),sinB=.(2)BE=2AE,AB=3米,BE=2米,EFBD,ADBC,EFAD,BFEBDA,=.BF=6米,EF=4米,DF=3米.在RtDEF中,DE=5(米).,11.(2016陕西,17,5分)如图,已知ABC,BAC=90.请用尺规过点A作一条直线,使其将ABC分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法),解析如图,直线AD即为所作.(5分),12.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:AGDEGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值.,解析(1)证明:由题意知GE垂直平分AB,GA=GB.同理,GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC,AD=BC.(5分)(2)证明:AGD=BGC,AGB=DGC.在AGB和DGC中,=,AGB=DGC,AGBDGC.(8分)=.又AGE=DGF,AGD=EGF,AGDEGF.(10分)(3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH.,图1由AGDBGC,知GAD=GBC.在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB,AGB=AHB=90,(12分)AGE=AGB=45,=.又AGDEGF,=.(14分)(本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略)图2图3,深度分析(1)由线段的垂直平分线的性质容易得出GA=GB,GD=GC,由“SAS”可证明AGDBGC,再由对应边相等即可证得结论;(2)需要运用两次相似,由AGB=DGC和=,可证AGBDGC,得出比例式=,同时可证AGD=EGF,从而可证AGDEGF;(3)延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH,由AGDBGC,得出GAD=GBC,再求出AGB=AHB=90,得出AGE=AGB=45,求出=,由AGDEGF,即可得出的值.,考点相似三角形的判定与性质,C组教师专用题组,1.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为()A.4B.2C.3D.2.5,答案A连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,PODPBC,=,=,PA=4,故选A.,思路分析利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,2.(2016重庆,8,4分)ABC与DEF的相似比为14,则ABC与DEF的周长比为()A.12B.13C.14D.116,答案C因为ABC与DEF的相似比为14,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得ABC与DEF的周长比为14,故选C.,3.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是()A.=B.=C.=D.=,答案ADEBC,ADEABC,=,故选项A正确,故选A.,4.(2015内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CEF的面积为()A.B.C.2D.4,答案C在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BFDE,所以ABFADE,所以=,即=,解得BF=4,所以CF=2,所以SCEF=CECF=2.,5.(2015江苏南京,3,2分)如图,在ABC中,DEBC,=,则下列结论中正确的是()A.=B.=C.=D.=,答案C=,=,DEBC,ADEABC,=,故选项A、B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,选项D错误.故选C.,6.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:对于两人的观点,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对,答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.,7.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,ABC和EPD的顶点均在格点上,要使ABCEPD,则点P所在的格点为()A.P1B.P2C.P3D.P4,答案C由题图可知,E=A=90,要使ABCEPD,则=2,所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.,8.(2014辽宁沈阳,8,3分)如图,在ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DEBC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20,答案C由题意可得ADEABC,相似比为,所以BC=3DE=15,故选C.,9.(2014江苏南京,3,2分)若ABCABC,相似比为12,则ABC与ABC的面积的比为()A.12B.21C.14D.41,答案C相似三角形的面积比等于相似比的平方,故选C.,10.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或.,思路分析根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,11.(2018贵州贵阳,15,4分)如图,在ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形EFGH,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB,AC边上,则对角线EG长的最小值为.,答案,解析如图,作AMBC于点M,交HG于点N,设HE=x.由题意知,AM=4,BC=6.四边形EFGH是矩形,HGEF,AHGABC,=,即=,HG=,EG2=HG2+HE2=+x2=+(00,=,故选B.,6.(2017珠海模拟,7)如图,ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EFFC等于()A.32B.31C.11D.12,答案D平行四边形ABCD中,ADBC且AD=BC,因为E为AD的中点,所以DE=AD=BC,因为ADBC,所以DEFBCF,所以EFFC=DEBC=12,故选D.,7.(2017深圳十一校联考,6)如图,在ABC中,AD、BE是两条中线,则SEDCSABC=()A.12B.23C.13D.14,答案DAD、BE是ABC的两条中线,DE是ABC的中位线,DEAB,=,EDCABC,SEDCSABC=14.故选D.,8.(2016广州海珠二模,8)如图,下列条件不能判定ADBABC的是()A.ABD=ACBB.ADB=ABCC.AB2=ADACD.=,答案DA=A,又ABD=ACB,ADBABC;A=A,又ADB=ABC,ADBABC;A=A,又AB2=ADAC,即=,ADBABC.若=,则需A=B,D不能判定ADBABC,故选D.,9.(2018广州海珠统考,12)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,2),ABx轴于点B,以原点O为位似中心,将OAB放大为原来的2倍得到OA1B1,且点A1在第二象限,则点A1的坐标为.,答案(-2,4),解析因为点A的坐标为(-1,2),以原点O为位似中心,将OAB放大为原来的2倍,且点A1在第二象限,所以横坐标和纵坐标都将变为原来的2倍,故点A1的坐标为(-2,4).,10.(2018广州越秀模拟,14)一天,小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度,在同一时刻,小青的影长为2米,旗杆的影长为20米,若小青的身高为1.60米,则旗杆的高度为米.,答案16,解析如图,OADA,CEDA,CED=OAB=90.CDOB,CDA=OBA,AOBECD,=,即=,解得OA=16.,11.(2017中山纪念中学模拟,13)如图,平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等,则=.,答案,解析DEBC,ADE=B.又A=A,ADEABC,=,=,=,=.,12.(2017茂名三模,12)如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,AF与DE相交于点O,则=.,答案,解析易证DAEABF,ADE=BAF,四边形ABCD是正方形,BAF+OAD=90,ADE+OAD=90,AOD=90,显然B=90,AOD=B,又ADO=BAF,AODFBA,=,=.,13.(2016梅州二模,13)如图,在ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,DC=AC,在AB上取一点E得ADE.若图中两个三角形相似,则DE的长是.,答案6或8,解析DC=AC,AD=AC,=,AC=12,AD=4,若ADEACB,则=,=,DE=6,若ADEABC,则=,=,DE=8.综上,DE的长是6或8.,14.(2018江门二中3月月考,21)如图所示,在55的方格纸上建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别是A(1,0)、B(0,2).(1)请以格点为顶点画出DEF,使DEF满足:DEFOAB,且DEF与OAB的相似比是2;(2)请写出D、E、F的坐标.,解析(1)如图所示,DEF即为所求.(2)由图可知,D(2,0),E(4,0),F(2,4).(注:本题答案不唯一),15.(2016乐昌调考,20)如图,在ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(1)求证:ACCD=CPBP;(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.,解析(1)证明:AB=AC,B=C,APC=BAP+B,APC=APD+DPC,且APD=B,BAP=DPC,ABPPCD,=,ABCD=CPBP,AB=AC,ACCD=CPBP.(2)PDAB,APD=BAP,易知APD=C,BAP=C,又B=B,BAPBCA,=,AB=10,BC=12,=,BP=.,一、选择题(每小题3分,共6分),B组20162018年模拟提升题组(时间:40分钟分值:50分),1.(2016汕尾二模,8)如图,已知CD是RtABC的斜边AB上的高,则下列各式不正确的是()A.BC2=BDABB.CD2=BDADC.AC2=ADABD.BCAD=ACBD,答案D由ACDABC得=,AC2=ADAB;由BCDBAC得=,BC2=BDAB;由ACDCBD得=,CD2=BDAD,A、B、C三项均正确,故选D.,思路分析题图中有三对相似三角形,根据相似列比例式,进而得等积式,判断各选项正误.,易错警示读题不细,将“不正确”看成“正确”,错选A项.,2.(2016陆丰三模,9)如图,以点O为位似中心,将ABC放大得到DEF.若AD=OA,则ABC与DEF的面积之比为()A.12B.14C.15D.16,答案BAD=OA,=,ABC与DEF的位似比为,ABC与DEF的相似比为,ABC与DEF的面积比为,故选B.,二、填空题(每小题4分,共8分),3.(2017顺德模拟,12)在RtABC中,BAC=90,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图所示),如果将ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是.,答案2,解析如图,作MNAC于N,翻折后点B落在AC的中点处,AC=2AB=6,由翻折知1=2=45,易证MNBA,3=2=1,MN=AN,显然ABCNMC,=,=.设MN=x,则AN=x,NC=2x,AN+NC=x+2x=6,x=2,即MN=2.,4.(2016深圳罗湖模拟,14)如图,在RtABC中,AC=8,BC=6,直线l经过点C,且lAB,P为l上一个动点,若ABC与PAC相似,则PC=.,答案6.4或10,解析在RtABC中,AB=10.当APCBCA时,=,=,PC=6.4,当APCCBA时,APCCBA,PC=AB=10.,三、解答题(共36分),5.(2018福田一模,22)如图,在ABC中,O是AC上一点,O与BC,AB分别切于点C,D,与AC相交于点E,连接BO.(1)求证:CE2=2DEBO;(2)若BC=CE=6,则AE=,AD=.,解析(1)证明:连接CD、OD,CD交OB于点F,BC与O相切于C,BCO=90,EC为O的直径,CDE=90,BCO=CDE,BC、BD分别与O相切于C、D,BC=BD,OC=OD,BO垂直平分CD,从而在RtBCO中,由CFBO得CBO=DCE,故BCOCDE,=,CECO=BODE,又CO=CE,CE2=2DEBO.(2)BC=CE=6,OD=OE=OC=3,设AE=x,则AO=x+3,AC=x+6,由ODABCA,得=,=,得AB=2(x+3),在RtABC中,由勾股定理得62+(x+6)2=(2x+6)2,解得x1=2,x2=-6(舍去),AE=2,AO=OE+AE=3+2=5.在RtADO中,由勾股定理得OD2+AD2=OA2,AD=4.,6.(2017惠阳模拟,25)把RtABC和RtDEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.已知:ACB=EDF=90,DEF=45,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动,在DEF移动的同时,点P从ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动,当点P移动到点B时,点P停止移动,DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;(3)当t为何值时,APQ是等腰三角形.,解析(1)由题意知,AP=2t.ACB=90,DEF=45,CQE=45=DEF,CQ=CE=t,AQ=8-t.由题意知AB=10,点P以2cm/s的速度移动,t5.t的取值范围是0t5.(2)如图,过点P作PGx轴于点G,可求得AB=10,sinB=,PB=10-2t,EB=6-t,PG=PBsinB=(10-2t),y=SABC-SPBE-SQCE=68-(6-t)(10-2t)-t2=-t2+t=-+,当t=时,y有最大值,y最大值=.,图(3)若AP=AQ,则有2t=8-t,解得t=;若AP=PQ,如图,过点P作PHAC,则AH=QH=,PHBC,APHABC,=,即=,解得t=;图若AQ=PQ,如图,过点Q作QIAB,则AI=PI=AP=t,AIQ=ACB=90,A=A,AQIABC,=,即=,解得t=.综上所述,当t=或t=或t=时,APQ是等腰三角形.,图,7.(2017湛江三模,22)如图,在ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B.(1)求证:ADFDEC;(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,ABCD,ADF=CED,B+C=180,AFE+AFD=180,AFE=B,AFD=C,ADFDEC.(2)四边形ABCD为平行四边形,ADBC,CD=AB=4,又AEBC,AEAD,在RtADE中,DE=6.由ADFDEC得=,=,AF=2.,8.(2016中山三模,25)如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是射线CB上的一个动点,过点D作DFDE,交BA的延长线于点F,EF交对角线AC所在的直线于点M,DE交AC于点N.(1)求证:CE=AF;(2)设CE=x,AMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)随着点E在射线CB上运动,NAMC的值是否会发生变化?若不变,请求出NAMC的值;若变化,请说明理由.,解析(1)证明:DFDE,ADF+ADE=90,ADE+CDE=90,ADF=CDE,又FAD=ECD=90,AD=DC,ADFCDE,CE=AF.(2)当点E在BC上时,作MHAB于H,如图甲.MAH=45,AH=MH,设AH=MH=m.FHMFBE,=,=,图甲m=2-x,SAMF=AFMH,y=x,即y=-x2+x(0x4).当E在CB的延长线上时,作MGAF于G,如图乙,GAM=BAC=45,AG=MG,设AG=MG=t,图乙FGMFBE,=,=,t=,SAMF=AFMG,y=x,即y=x2-x(x4).综上所述:y=,(3)不变.当点E在边BC上时,如图甲,AM=m=,MC=AC-AM=4-2+x=,CNEAND,=,NA=,NAMC=16;当点E在边CB的延长线上时,如图乙,MC=AM+AC=+4=,同理可得NA=,NAMC=16,NAMC的值不变.,思路分析(1)证ADFCDE,得CE=AF.(2)利用三角形相似,将AMF的底边AF及AF边上的高用含x的代数式表示,进而得函数关系式.(3)分类求出NA和MC的值,进而求出NAMC的值.,解题关键画出变化过程中的图形.,
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