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福建农林大学考试试卷 样卷 参考答案 200X 200X 学年第 X 学期 课程名称： 有限元法 考试时间 120分钟 专业 年级 班 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总得分 得分 评卷人 得分 一、名词解释（每小题4分，共20分） 1、有限元法 有限元法是一种把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体的一种近似数值计算 方法。它以有限个结点位移和结点力来表示结构的变形状态和内力状态，用结点位 移表示外力，建立以结点位移为未知数的平衡方程，求解结点位移，再求应变和应 力等。 2、离散化 将分析的结构划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，把相邻的单元 体在结点处连接起来，组成单元的集合体。 3、完备单元 位移模式满足以下两个条件的单元： （1）位移模式必须包含单元的刚体位移（2） 位移模式必须能包含单元的常应变。 试卷第 1 页 （共 10 页） 4、两单元平均法 把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力。 5、位移模式 假定单元内任一点的位移是其坐标的某种（简单）函数。即单元内各点位移可以由 单元结点位移插值得出。选择位移模式，实质上是用什么样的位移函数去近似的描 述实际位移的变化规律。 得分 二、 （本题满分20分） 二、 一平面桁架及其结点和单元的编号如图1， 各杆截面积均为A， 弹性模量均为E， 杆和杆的长度为 L。求： （1）各杆在单元坐标系下的刚度矩阵，并请标出 各单元坐标系； （2）杆和杆在整体坐标系下的刚度矩阵 e k e k 。 P y3 3 P x3 y O x 1 2 图 1 试卷第 2 页 （共 10 页） 解： （1） y 1 2 x 对于单元，i=1，j=2, 0 = 单元刚度矩阵为 （3分） x 3 对于单元，i=1，j=3, 45 = 单元刚度矩阵为 （4 分） y 1 x 3 对于单元，i=2，j=3, 90 = 单元刚度矩阵为 （3分） 2 y 注：标出各单元坐标系各得 1 分 00 00 0000 e EA EA LL K EA EA LL 0000 = 22 00 22 0000 22 00 22 0000 e EA EA LL K EA EA LL = 00 0000 00 0000 e EA EA LL K EA EA LL = 试卷第 3 页 （共 10 页） （2）整体坐标系下的单元刚度矩阵 22 00 cos sin 0 0 cos sin 0 0 s i nc o s0 0 0000s i nc o s0 0 00c o ss i n 00c o ss i n 00 00s i nc o s 00s i nc o s 0000 cos sin cos cos si e Te KTKT EA EA ll EA EA ll EA EA EA EA llll = = = 22 22 22 nc o s sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin EA EA EA EA llll EA EA EA EA llll EA EA EA EA llll 对于单元 （3 分） （ 对于单元 4 分） 00 0000 00 0000 e EA EA LL K EA LL EA = 2 e EA EA EA EA LLLL EA EA EA EA LLLL K EA EA EA EA LLLL EA EA EA EA LLLL = 4 试卷第 4 页 （共 10 页） 得分 三、 （本题满分6分） 三、图 2 为一空间刚架等截面直梁单元，结点为 i、j, 参考点为 k，k 位于水平面 内。要求： （1）画出y、z轴； （2）写出各结点位移和对应的结点力列阵。 j （1）如图所示（3 分） k i y 图 2 z （2）结点位移列阵： （3分） 结点力列阵： 得分 四、 （本题满分11分） 四、平面三结点三角形单元的结点为i、j、m。单元内任意一点的位移与结点位移 之间的关系如下： 。 已知u = m m j j i i m j i m j i v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 i =1.610 -2 mm， u j =2.110 -2 mm, T zj yj xj j j j zi yi xi i w v ) , , , , , , , ( = i i e w v u u , , , , T zj yj xj j j j zi yi xi i i i e M M M W V U M M M W V U F ) , , , , , , , , , , , ( = 试卷第 5 页 （共 10 页） u m =1.910 -2 mm, v i =v j =v m =0, xi =1.110 -2 ， Pa i 400 = 。要求： （1）写出N j 与x、y 的关系式； （2）写出a j 、b j 、c j 与结点坐标的关系式； （2）说明u j、 v m 和 xi 的意义； （3）求 xj 和 xm ； （4）求 j 。 （1） （2分） () jjjj （2） （3分） / 2 b xc y =+ m yx y y cxx = = = Na jm ii jmi jim ax by （3）u j j结点在X方向的位移 v m m 结点在Y方向的位移 （3分） xi i结点在X方向的应变 （4） xj xm 1.110 -2 （2分） （5） j =4 0 0 P a （1分） 试卷第 6 页 （共 10 页） 得分 五、 （本题满分11分） 五、 （1）有限元法用于解决工程问题会产生误差吗？如果会，请分析误差可能由哪 些原因引起? （2）检验计算结果有哪些方法？ （3）检验结构应力计算结果的先后次序如何？为什么？ （1）会。 （1分） 四类误差来源： （4分） 理论模型本身误差 建模误差 方程组求解过程的误差 有限元计算机软件系统的编程误差 （2）检验有限元计算结果方法： （3分） 与解析解的比较 实验验证 与他人结果的比较 （3）先检查位移，后检查应力。 （1分） 因为：有限元法建立的是以结点位移为未知数的代数方程组，所以首先得出的是位 移，而应力是由结点位移求得的。 （2分） 试卷第 7 页 （共 10 页） 得分 六、 （本题满分11分） 六、 （1） 写出双线性位移模式， 并指出反映刚体位移和常量应变的系数分别是哪个？ （2）写出平面三结点三角形单元的位移模式，它和平面矩形单元相比哪个精度 高？ （3）对平面矩形单元任意两相邻单元在公共边界上的位移和应变、应力是否连 续？为什么？ （1） xy y x v xy y x u 8 7 6 5 4 3 2 1 + + + = + + + = 反映刚体位移的系数： 1 、 5 ，反映常量应变的系数： 2 、 3 、 6 、 7 （4 分） （2） y x v y x u 6 5 4 3 2 1 + + = + + = 平面矩形单元精度高。 （3分） （3）位移连续；而应变、应力不连续。 （2分） 在单元的边界上位移分量是按线性变化的， （固定 x，它是 y 的线性函数；固定 y, 它是 x 的线性函数） ，故称为双线性位移模式，又因为任意两个相邻单元在公共边 界的两结点位移相同，所以在公共边界上的位移是连续的，满足协调性条件。 而矩形单元在位移模式中包含 xy项，因此B和S矩阵中的元素不再是常量，在单 元范围内是呈线性变化的应力场，所以在不同单元的公共边界应力与应变仍是不连 续的。 （2分） 试卷第 8 页 （共 10 页） 得分 七、 （本题满分11分） 七、一平面刚架的结构模型及其结点和单元的编号如图 3。采用梁单元进行有限元 分析，坐标系如图所示。要求： （1）计算半带宽，图上结点编号是否已达到最小半 带宽要求； （2） 写出头 4个结点的坐标值； （3） 若横梁的截面为 40mm40mm2mm 的方管，试求它的扭转惯性矩J k ； （4）如用ANSYS软件平面梁单元来建模分析，应 选什么单元？ y P P 520 700 500 2 4 6 8 O x 500 1 3 5 7 图 3 （1）B=（d+1）H=（21）39 （3分） 已达到最小半带宽要求 （1分） （2）1（0，250，0） ，2（0，250，0） ，3（520，250，0） ，4（520，250，0） （2分） （3） （3分） （4）选用 Beam3单元 （2分） 2 24 12 2( ) 2(38 38) /(38 / 2 38 / 2) 109744 () k bh Jm m bh tt = + = + 试卷第 9 页 （共 10 页） 得分 八、 （本题满分10分） 八、单元刚度矩阵和总刚度矩阵各有哪些性质？ （1）单元刚度矩阵的性质： 方阵 反映了单元的固有性质。系数取决于单元长短、截面几何参数、材料弹性模量等。 对称阵 奇异矩阵，即行列式=0 是建立在单元坐标系上的。 （2）总刚度矩阵的性质： 对称阵 稀疏性 带形分布规律 奇异性 是建立在整体坐标系上的。 （每小点 1分） 试卷第 10 页 （共 10 页）
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